坐标系

在向量微积分与张量分析中，坐标系 (Coordinate System) 是描述几何空间与物理量的基石。本文将介绍三维空间中基向量、坐标轴以及协变与逆变基向量的基本概念，并提供可交互的三维演示。

1. 基本概念

在三维欧式空间中，任意一点的位置都可以通过一组坐标 来确定。为了描述向量，我们需要建立一组基向量 (Basis Vectors)。

• 切线基向量（协变基向量 ）：沿坐标线切线方向的向量。
• 法线基向量（逆变基向量 ）：垂直于坐标曲面的向量。

当坐标轴互相垂直且长度为 1 时，称为笛卡尔直角坐标系；而在一般斜坐标系或曲线坐标系中，基向量不一定正交，也不一定单位化。

2. 交互展示：三维坐标系

下面的交互式图示展示了一个三维坐标系。其中，向量 ( 轴) 与 ( 轴) 确定了 平面，而向量 ( 轴) 通过叉积 计算，确保其严格垂直于 平面。

操作提示：用鼠标或触摸屏在下方画布上拖拽，即可旋转视角，全方位观察三维坐标系。

图例

● x₁ 轴

● x₂ 轴

● x³ 轴 (垂直于 Ox₁x₂ 平面)

● 虚线：Ox₁x₂ 平面边界

💡 拖拽可旋转视角

3. 叉积与正交基向量

在三维空间中，给定两个非共线基向量 与 ，我们可以利用向量叉积 (Cross Product) 唯一确定一个垂直于这两个向量所构成平面的基向量 ：

这种定义方式保证了 与 平面严格正交：

这在一般的曲线坐标系与张量分析中，是构造对偶基（Dual Basis / Contravariant Basis）的关键步骤。