第5章：型腔充填分析与设计
要生产出合格的注塑件，聚合物熔体必须完全充满模具型腔。因此，必须合理确定注塑件的壁厚和浇口位置，使熔体能够从浇口流动到型腔边缘。模具充填分析用于确保熔体不仅能够在可实现的成型压力下充满模具，而且能按预期方式充填模具，从而达到所需的质量。
5.1 概述
型腔充填分析可用于多种目的。在最基本的层面上，模具充填分析可用于验证：在注塑机所能提供的熔体压力下，塑料熔体能否充满模具型腔。通常，充满型腔所需的熔体压力低于 100 MPa（约 15,000 psi），尽管大多数现代注塑机能够提供两倍于此的压力。所需熔体压力与可用熔体压力之间的这一安全裕量，既为浇注系统中的压力降留出了余量，也确保了在材料性能或成型工艺可能出现波动的情况下模具仍能充满。
型腔充填分析还用于确保充填压力不至于过低，因为极低的熔体压力往往表明注塑件设计不良或工艺条件不当。壁厚过大会导致压力过低、材料成本过高以及周期时间延长。在这种情况下，应减小名义壁厚，并采用加强筋或其他结构特征来提供必要的强度和刚度。在某些情况下，极低的熔体压力也可能表明充填时间、模具温度或熔体温度设置不当。此时应调整这些工艺条件，以较高的熔体压力为代价来缩短加工时间、降低成本。
在更高级的层面上，型腔充填分析可用于预测熔体前沿在型腔中的推进情况，并在模具制造和试模之前确定熔接线、充填末端以及其他现象的位置。这些结果可用于调整浇口位置、浇口类型、型腔厚度、顶杆位置、排气位置以及其他设计参数。
尽管现代计算机模具充填模拟能够针对非常复杂的型腔几何形状提供详细结果，“摊平法”（lay-flat）型腔充填分析仍然极为有用。这种手工分析为模具设计师提供了一种理解主要流动行为的手段，并可建立有效的估算方法，用于确定模具设计和工艺条件，或验证计算机模拟结果。要进行此项分析，模具设计工程师必须理解熔体流变学的基本原理和流动的控制方程。之后，本章将介绍一种型腔充填分析的方法论并对其进行验证。
5.2 型腔充填的目标
5.2.1 模具型腔的完全充填
塑件和模具的设计必须满足：聚合物熔体能够在可行的熔体压力下完全充满模具型腔。为此，应对模具型腔进行充填分析，以针对给定材料验证塑件壁厚，并协助选择浇口和确定工艺条件。
现代注塑机通常能够提供约 200 MPa（30,000 psi）的注射压力。然而，在充填型腔时应假定一个较低的熔体压力，以便：
- 降低所需的锁模力；
- 为浇注系统中的压力降留出合理余量；
- 为假设条件中的误差提供安全系数。
在实践中，通常将 100 MPa 的熔体压力规定为型腔充填压力的上限。如果已知注塑机具有非常高的注射压力，或者模具的浇注系统被有意设计为压力降很小（例如采用热流道系统），则可以将最大型腔压力规定得更高。当模具很难充满时，成型厂商一般会尝试通过提高模具温度和熔体温度、加大流道直径、改用更低黏度的塑料，以及最终改变模具型腔壁厚来进行补偿。反之，如果模具很容易充满，成型厂商一般会降低模具温度和熔体温度，同时提高注射速度以缩短周期时间。
5.2.2 避免充填不均或过保压
在模具充填过程中，聚合物熔体会从注射点出发沿径向向整个型腔流动。一般而言，模具应设计成使聚合物熔体几乎同时到达离浇口最远的型腔各边缘。这种均匀充填可以使整个模具型腔内的熔体压力更均匀且更低。
如果模具的某一部分明显早于其他部分充满，那么已充满部分的熔体将发生滞流，并可能产生严重后果。图 5.1 给出了笔记本电脑边框分析的充填等值线，其中塑料熔体在两个位置注射。每条等值线代表熔体前沿在不同时刻的位置。可以观察到，塑料熔体从浇口沿径向流出，随后受到侧壁的约束。接着，聚合物熔体沿侧壁流动，然后越过边框的顶壁和底壁。
图 5.1：笔记本电脑边框的熔体前沿推进（图略）
在充填的大部分时间里，流往塑件上半部分和下半部分的体积流量相等。然而，由于注射浇口的位置略偏向塑件下部，塑件的下部先于上部充满。当两股熔体前沿在底部中心汇合后，几乎无法再向塑件下部注入更多的塑料熔体。流向下部的熔体发生滞流，导致流向上部的熔体流量激增。由此可能产生的缺陷包括：
- 充满模具所需的型腔充填压力过高、锁模力过大以及产生飞边；
- 无法充满模具型腔（短射）；
- 残余应力高并产生翘曲；以及
- 与充填过程中熔体速度变化相关的熔体破裂、喷射、滞流或其他外观缺陷。
为避免或解决这些问题，模具设计应考虑浇口的类型和位置、浇注系统的布局和尺寸以及模具型腔的名义厚度，并利用壁厚的微小变化有意识地引导型腔内的流动。
5.2.3 控制熔体流动
即使模具充填均匀，型腔充填分析也可用于最大限度地提高塑件质量。例如，有时希望控制熔体前沿的推进，使熔接线位于塑件上对外观或结构完整性不太重要的区域。类似地，可以进行型腔充填分析来预测最后充填的区域，以便设置排气槽和/或顶杆，使被置换的气体排出模具。对于各向异性塑料（如玻纤增强材料），可以进行型腔充填分析与设计来控制流动方向，从而影响成型取向、强度或收缩。
5.3 黏性流动
5.3.1 剪切应力、剪切速率与黏度
要分析聚合物熔体流动，必须理解剪切应力、剪切速率与黏度之间的关系 [1]。剪切应力
考虑图 5.2 所示的一块动板与一块静止板之间的流动。假设流动已充分发展且在壁面无滑移，则在流体厚度方向上可观察到线性的速度分布：速度
图 5.2：两平行平板之间的流动（图略）
对于一块静止板和一块动板之间的流动，剪切速率定义为速度沿厚度方向的变化率，即
例题：
计算一种聚合物熔体的剪切速率：该熔体被一块位于静止板上方 1.5 mm 处的动板以 100 mm/s 的速度拉动。若黏度为 100 Pa·s，估算所产生的剪切应力。对于长度为 200 mm、宽度为 100 mm 的平板，计算维持平板以 100 mm/s 运动所需的侧向力。
剪切速率为
当黏度为 100 Pa·s 时，熔体中的剪切应力为
若平板长 0.2 m、宽 0.1 m，则动板壁面上的侧向力为
5.3.2 压力降
聚合物熔体在流道中流动所引起的压力降可以通过运动方程来分析。对于稳态流动，合力之和必须等于零。
考虑图 5.3 所示矩形流道中沿侧向作用于流动的力。当流动从左向右运动时，沿流动方向会产生压力降，
图 5.3：流道中的压力与剪切应力（图略）
聚合物熔体上有两个必须平衡的力。第一个是由熔体流动长度上的压力降产生的力
第二个是由剪切应力产生的力
令压力降产生的力与剪切应力产生的力相等，可得
令
例题：
某聚合物熔体在厚度为 1.5 mm 的模具型腔中的壁面剪切应力为 13,000 Pa。估算长度为 200 mm 的型腔上的压力降。
单位长度的压力降为
对于长度为 200 mm 的型腔，压力降为
为了将压力降表示为黏度的函数来计算，必须将黏度定义为剪切速率和温度的函数，从而可以计算剪切应力。
5.3.3 流变行为
“流变学”（rheology）一词指研究物质变形与流动的学科 [2, 3]。“黏度”（viscosity）一词指流体在剪切应力作用下发生变形时的阻力，按照式 5.1 定义为剪切应力除以剪切速率。
聚合物熔体的黏度行为可能极其复杂，其复杂程度远超从业者在考察熔体流动指数（MFI）时通常所认识到的水平。熔体流动指数由 ASTM D1238 定义，测量在给定压力和时间的条件下有多少克聚合物流过具有规定长度和直径的毛细管。较高的熔体流动指数通常对应较低的黏度和更好的加工性。然而，MFI 只是黏度的单点估计，并不能表征材料在成型时所经历的宽范围剪切速率、温度和压力下的行为 [4]。因此，注塑成型中应用了更好的黏度模型。
Cross-WLF 模型 [5] 被广泛认为是一种有能力的熔体黏度模型，它将黏度
在该模型中，
图 5.4：Cross 模型及其系数示意（图略）
在 Cross 模型中，零剪切黏度
模型参数（
尽管 Cross-WLF 模型是一种非常精巧的模型，且常用于数值模拟，但它在手工充填分析中不太实用。问题在于该模型难以操作，且不便于求出压力随熔体流量变化的解析解。因此，实践中常用其他几种具有相对简单解析解的黏度模型。
图 5.5：聚碳酸酯（PC）树脂的黏度行为（图略）
5.3.4 牛顿流体模型
牛顿黏性定律指出，平行流动层之间的剪切应力
其中系数
图 5.6 将牛顿模型与中等黏度 PC 在 280°C 下由 Cross-WLF 模型给出的非牛顿行为进行了比较。如前所述，聚合物熔体是非牛顿流体。因此，牛顿模型只在 7000 1/s 的剪切速率下给出黏度的精确估计。牛顿模型在更高的剪切速率下高估黏度，在更低的剪切速率下低估黏度。即便如此，牛顿模型是最简单的模型，当采用有代表性的剪切速率时，可以给出合理的工程估算。需要注意的是，若将 Cross 模型的零剪切黏度
图 5.6：黏度行为的牛顿模型（图略）
对于牛顿流动，速度分布是厚度坐标
其中
其中平均线流速
给定剪切速率的这一估计值后，应求得表观黏度并用于压力降的估算。
将式 5.7、5.13 和 5.16 联立，可以得到压力降随线流速或体积流量变化的估算式。
5.3.5 幂律模型
牛顿黏性定律假设黏度不是剪切速率的函数。不服从该定律的材料称为非牛顿流体。最简单、最常用的非牛顿模型之一是幂律模型，它认为黏度是剪切速率的指数函数。
其中
图 5.7：黏度行为的幂律模型（图略）
图 5.7 将幂律模型与中等黏度 PC 在 280°C 下由 Cross-WLF 模型给出的非牛顿行为进行了比较。可以看出，幂律模型在高剪切速率下能很好地估算黏度，但在低剪切速率下高估黏度。因此，可以预期幂律模型比牛顿模型给出更准确的估算，但与 Cross-WLF 模型相比会高估压力降，因为它在低剪切速率下高估了黏度。
需要注意的是，某些树脂（如某些牌号的聚丙烯）在很低的剪切速率下就转变进入幂律区。对于这类材料，没有明显的牛顿平台区，幂律模型可望给出很好的估算。对于其他具有显著牛顿平台区的材料（如刚才讨论的聚碳酸酯），可以有意识地将幂律模型拟合到感兴趣的较小剪切速率区间，以获得更准确的结果。
对于幂律流体的流动，沿厚度方向的速度分布是幂律指数
体积流量等于速度沿厚度的积分乘以宽度
需要注意的是，幂律指数等于 1 时，幂律模型退化为牛顿模型。随着幂律指数减小，黏度表现出更强的剪切变稀，聚合物熔体在侧壁附近流动得更快。当幂律指数趋近于零时，形成柱塞流（plug flow），此时熔体速度沿厚度方向几乎恒定。这些行为在图 5.8 中以图形方式表示。注意，随着幂律指数减小，中心线处的熔体速度降低，以保持体积流量恒定。
图 5.8：速度对幂律指数的依赖关系（图略）
采用幂律模型时，估算压力降并不需要壁面剪切速率，但计算它可能有助于避免过高的剪切速率或校核熔体黏度。壁面剪切速率可由平均线流速或体积流量计算：
将式 5.7、5.18 和 5.21 联立，可以得到压力降随线流速或体积流量变化的估算式。
5.4 工艺模拟
工艺模拟是模具设计中对聚合物熔体流动和凝固进行建模的宝贵工具。与手工分析相比，在现代 CAD 环境中进行模拟实际上更容易，同时还能提供更准确的结果。截至 2015 年，模具充填模拟软件的供应商包括 Autodesk/Moldflow、CoreTech/Moldex3D、Dassault/Simpoe、Sigma Engineering/Sigmasoft 等。这些模拟将产品的设计几何形状离散化为有限元网格，在网格内可以计算流动、温度和压力。
这种数值方法能够对成型过程中的复杂物理现象进行建模，包括：（1）任意几何形状；（2）非牛顿流动；（3）黏性生热；（4）可压缩性；（5）随温度变化的热导率和比热容（包括熔化潜热）；（6）聚合物熔体与模具之间的热接触阻；（7）可设定曲线的注射速度和保压压力；（8）冷却水路；（9）型芯偏移和模板挠曲；（10）排气；以及许多其他效应。模拟结果可以包括充填模式、压力分布、主体温度、体积收缩以及塑件性能（包括残余应力、收缩、翘曲等）的预测。
随着用户界面的简化以及通过工艺条件和其他参数的默认输入来引导分析设置的向导的出现，模拟变得越来越容易进行。已有验证研究指出了与模具几何形状、材料性能和工艺条件相关的常见失效模式 [8, 9]。在采用模拟结果时应谨慎，当结果与经验不符时应对其提出质疑。
作为这些模拟能力的一个示例，采用 Autodesk/Moldflow Plastics Insight 2014 对该边框设计进行了分析。图 5.9 给出了充填阶段聚合物熔体的平均流速。离散化网格显示在图 5.9 的右上方，箭头表示聚合物熔体在型腔中推进时的速度矢量（包括大小和方向）。对于 0.44 s 的充填时间，熔体沿边框顶部的平均速度约为 50 cm/s。这是意料之中的，因为从浇口到顶边中心的流动长度为 200 mm，所以平均流速为 200 mm 除以 0.44 s，即 450 mm/s。然而，模拟还提供了许多难以预先确定的熔体流动细节，包括熔体从浇口的径向流出、绕窗口和流入boss柱位的局部流动、浇口附近侧壁处的流动滞止，以及在模具最后充填区域（边框顶部中心）的熔体汇合。
模拟中的一种常见研究是将浇口数量从 2 个改为 1 个、3 个、4 个或其他数目，以预测由此产生的流动模式、熔体压力和塑件性能。一旦确定了浇口位置，还应对流道系统（冷流道或热流道）进行建模，因为流道系统会改变聚合物熔体通过流道系统各分支和浇口进入型腔时的压力降、流量和温度，这将在第 6 章中讨论。
图 5.9：充填结束时型腔内的熔体速度（图略）
工艺模拟的另一项标准用途是估算注塑成型的适当工艺条件，包括注射时间、机筒温度和冷却液温度、保压压力、保压时间等。一个好做法是进行灵敏度研究，以表征工艺行为相对于最重要工艺条件的变化规律。图 5.10 给出了注射时间在 0.05 至 2 s 范围内变化的模拟结果。模拟输入的熔体温度统一设为 240°C，即 Cycolac MG47 树脂推荐范围的中点。如对应右侧纵轴的方形符号所示，模拟表明：注射时间为 2 s 时主体温度约为 240°C，而注射时间为 0.05 s 时主体温度升至 260°C 以上。这一升温是由于较高注射速度下聚合物熔体的黏性生热，以及充填时间较短导致传导散热减少所致。
在成型实践 [10, 11] 中，从业者会努力设定注射时间，使主体温度在整个型腔充填过程中保持均匀。这表明 2 s 的注射时间是合适的。然而，图 5.10 还给出了注射压力曲线，在 0.2 s 附近观察到最小值。科学成型（scientific molding）的从业者 [12, 13] 会努力设定注射时间以使注射压力最小化。较短注射时间下压力较低的原因是：聚合物熔体不仅因较高的主体温度和剪切速率而具有较低的黏度，而且冷凝层更薄。
图 5.10：充填结束时所需注射压力和熔体主体温度随型腔充填时间的变化（图略）
尽管保持熔体温度均匀和最小化成型压力这两个目标都是合理的，但在模具投产调试时，模拟往往无法预测实际试模中的许多不确定因素。图 5.10 表明，该应用的充填时间可能在 0.1 至 2 s 之间，考虑到缩短周期时间的愿望，更可能的范围在 0.1 至 0.5 s 之间。一旦浇注系统和冷却水路设计完成，可以进行更多模拟以进一步缩小范围并优化工艺。
5.5 型腔充填分析与设计
充填分析有许多应用，包括降低成本、优化工艺和提高质量。虽然以下示例涵盖了多种典型应用，但模具设计师应根据具体成型应用的需要对这些分析进行定制或进一步开发。
5.5.1 估算工艺条件
模具设计师应验证在给定型腔几何形状和材料性能的条件下模具能否充满。然而，充填分析需要工艺条件，包括熔体温度以及熔体的线速度或体积流量。建议模具设计师假定熔体温度取材料供应商推荐熔体温度范围的中值，因为这样可以给成型厂商留出上下调整温度的余地，以纠正成型问题或缩短周期时间。
真实的熔体流量在模具制造并投产之前是未知的。最大流量通常受注塑机最大螺杆推进速度或高流量引起的成型缺陷（如飞边、喷射或烧焦痕）的限制。最小流量通常受熔体在型腔中过早凝固（导致短射）的限制。熔体通过模具的典型线流速在 0.01 至 1 m/s 之间，具体取决于成型应用的细节。薄壁应用通常具有更高的线流速，因为：
- 它们需要更快的注射以避免过早凝固；并且
- 在注塑机提供相同体积流量的情况下，壁厚越薄线流速越高。
熔体流量可以通过计算模具型腔和流道的体积并除以估算的充填时间来估算。这种方法对有经验的从业者很有效，但对几何形状或材料性能差异很大的新成型应用可能效果不好。或者，可以通过进一步分析得出一个推荐流量，使剪切生热量与熔体向模具的散热量相平衡。这一结果不仅能给出熔体流量的合理估计，还能给出更准确的分析，因为它倾向于在熔体充填模具时产生均匀的熔体温度。
熔体速度的推导见附录 F。对于牛顿流体材料，推荐速度为
其中
例题：
现将此分析应用于笔记本电脑边框：壁厚 1.5 mm，采用 ABS（Cycolac MG47）成型，熔体温度 239°C，模具冷却液温度 60°C。为便于分析，我们首先假定充填时间为 1 s，由此得到线速度的初始估计值（定义为流动长度 0.2 m 除以充填时间）为 0.2 m/s。在此速度下，剪切速率计算为
在此剪切速率下，幂律模型给出的熔体黏度为
然后可利用该表观黏度值，按照式 5.23 给出推荐注射速度的新估计值：
进一步迭代有助于逼近推荐速度。在速度为 0.44 m/s 时，剪切速率为 1750 1/s。此剪切速率下的黏度为 131.5 Pa·s，进而建议熔体线速度为 0.56 m/s。对该速度再做一次迭代，得到剪切速率 2250 1/s、黏度 111 Pa·s、熔体速度 0.61 m/s。继续迭代，解将收敛到最终速度 0.64 m/s。由于流动长度约为 0.2 m，笔记本电脑边框的模具型腔将在约 0.33 s 内充满（不包括流道系统）。该结果与图 5.10 的模拟结果非常吻合。
正如式 5.23 的形式所暗示的，推荐速度会随熔体温度、模具温度、熔体热导率和熔体黏度而变化。熔体与模壁之间温差越大、聚合物熔体热导率越高，就需要越快的熔体速度来维持均匀的熔体前沿温度。黏度较低的材料需要更高的熔体速度，以产生足够的剪切生热来避免熔体过度散热。
虽然熔体速度表面上并不随壁厚变化，但壁厚的影响通过黏度（剪切速率的函数）被计入。随着壁厚减小，剪切速率增大使黏度降低，从而需要更高的熔体速度以避免熔体冷却。正如预期，壁厚越小所需的熔体速度越高。图 5.11 利用该分析绘出了 ABS 的推荐熔体速度随熔体温度和壁厚变化的曲线。可以看出，对于壁厚 3 mm、熔体温度 218°C 的成型应用，熔体速度约为 0.4 m/s；而对于壁厚 0.8 mm、熔体温度 260°C 的成型应用，熔体速度可高达约 1.6 m/s。
图 5.11：ABS 推荐熔体速度随壁厚和温度的变化（图略）
虽然推荐熔体速度随成型应用的不同存在很大差异，但重要的是要认识到：成型过程中实际发生的熔体速度和流量是未知的。目标应是给出熔体速度和充填时间的合理估计，并将模具设计成能在各种条件下运行。虽然上述分析看起来比单纯凭经验假定充填时间要复杂得多，但该分析是客观的，能提供定量的结果，从而为注塑模具的设计和使用提供深入的认识。
5.5.2 估算充填压力与最小壁厚
减小壁厚可以降低注塑件的材料成本、加工成本和环境影响。然而，将壁厚最小化会使型腔难以充填，并反过来增大锁模力。要估算充满模具所需的压力，模具设计师必须知道充满模具所需的总流动距离。为此，模具设计师应选择浇口位置，使模具不同部分之间的流动达到平衡。由于这是一维流动分析，加强筋和boss柱等特征被忽略。如果这些特征相对于主流动路径较小，它们很可能被充满。
给定流动长度和熔体线流速后，可应用式 5.17 或式 5.22 预测模具型腔上的压力降
要通过摊平法手工预测复杂产品的充填压力，必须将几何形状分解为一系列简单流段。然后可以使用牛顿模型或幂律模型分别分析每个流段中的流动，这些模型将压力降与该流段的流量联系起来。回到图 5.1 所示的笔记本电脑边框，可以假定左右两侧的流动对称。因此，分析只需考虑几何形状的一半。进行分析时，首先将边框的所有转角拉直，如图 5.12 所示。虽然这一步对分析而言并非必需，但它强调了该分析只考虑沿熔体流动长度方向的压力降。接下来，将各边向外展开，以揭示充满型腔竖直侧壁所需的附加流动。
图 5.12：笔记本电脑边框的摊平图（尺寸单位 mm）（图略）
如图 5.12 所示，浇口位置选在靠近中心处。笔记本电脑边框的摊平几何形状随后被分为两个流段，分别代表流向模具上部和下部的流动。需要注意的是，可以计入流道宽度的变化，例如因开窗而变窄的区段，如图 5.12 右侧中间的摊平图所示。厚度变化的区段也应拆分为不同的流段。通过分析每个流段中的流动，可以很好地估计熔体充填模具过程中熔体前沿的位置和熔体压力。或者，也可以将宽度相近的区段合并在一起，以简化流量和充填压力的计算，如最右侧的摊平图所示。
例题：
假定熔体速度恒定为 0.64 m/s，估算笔记本电脑边框的压力降。
采用图 5.12 最左侧的摊平图，将模具型腔的四分之一建模为矩形条，其长度、宽度和厚度分别为 200 mm、20 mm 和 1.5 mm。黏度数据用幂律模型拟合。ABS 材料在 239°C 下的系数为：稠度系数
等于 17,070，幂律指数 等于 0.348。根据式 5.22，压力为
相对于大多数注塑机的能力而言，这个压力相当高，尤其是考虑到估算的充填压力并未包括浇注系统的压力降。该结果也与图 5.10 给出的注射压力工艺模拟结果非常吻合。
产品设计师和模具设计师可能希望考察各种壁厚、流量和熔体温度下充满型腔所需的压力。图 5.13 给出了在材料中值熔体温度下，充满型腔所需的估算充填压力随壁厚范围的变化。
给定注射压力下允许的最小壁厚可以按图 5.13 所示的方法导出。具体做法是：在图上画一条表示最大允许压力的水平线，最小壁厚出现在该线与压力曲线的交点处。本例的分析表明，在熔体温度 240°C 时，最小壁厚为 1.4 mm。
图 5.13：充填压力随壁厚的变化（图略）
在最小化壁厚时，应理解两个重要概念。第一，最小壁厚是熔体温度的函数。建议模具设计师采用中值温度进行分析，因为这样可以为成型厂商保留在需要时提高熔体温度从而降低充填压力的余地。第二，最小壁厚也是浇注系统设计的函数，因为注塑机能够传递给型腔的压力取决于浇注系统的压力降，这将在第 6 章中讨论。
5.5.3 估算锁模力
锁模力定义为在成型过程中保持模具闭合所需的力，通常以英制吨、公制吨或千牛为单位计量。锁模力
其中
最大锁模力通常出现在充填阶段结束、充填压力达到峰值的时刻，或保压阶段开始、整个型腔充满保压压力的时刻。在实际成型中，往往难以判别最大锁模力究竟由充填阶段还是保压阶段的压力所决定。
考虑图 5.14 所示笔记本电脑边框摊平模型沿程的型腔压力分布。
图 5.14：充填与保压期间的型腔压力分布（图略）
左图表明，型腔内沿流动方向存在线性压力降，从浇口处的约 90 MPa 降至充填末端的 0 MPa。型腔内所受的平均压力为 45 MPa。虽然摊平条的宽度约为 20 mm，但其投影宽度（参见图 5.12）约为 12 mm。充填结束时该条所需的锁模力为
在保压期间，施加的压力略低，但型腔内的压力要均匀得多。通常，保压压力为充填压力的 50% 至 90%。如图 5.14 右图所示，平均型腔压力可能为 75 MPa，对应的保压开始时刻所需的锁模力为
分析表明，本例中峰值锁模力将出现在保压开始、型腔内熔体压力趋于均衡的时刻。由于保压压力取决于成型工艺和期望的收缩量，其确切数值在模具制造并运行之前是未知的。
因此，一种保守的方法是假定充填压力将作用于型腔各处。此时锁模力可估算为
其中
例题：
估算成型笔记本电脑边框所需的最大锁模力。
式 5.27 和式 5.28 表明，对于摊平几何形状，充填和保压期间的锁模力分别为 10.8 mTon 和 18.3 mTon。由于摊平图代表笔记本电脑边框的四分之一，估算的锁模力为两者中较大值的四倍，即：
为验证前面三节所述的分析，将其结果与此前就图 5.9 和图 5.10 讨论过的模拟结果进行比较。解析结果与数值模拟结果的对比见表 5.1。
表 5.1 解析结果与模拟结果的比较
| 参数 | 分析结果 | 模拟结果 |
|---|---|---|
| 注射时间 (s) | 0.4 s | 0.05 至 2 s |
| 充填压力 (MPa) | 90.2 MPa | 104 MPa（0.4 s 时） |
| 熔体主体温度变化 (°C) | 0 | +10 |
| 平均剪切速率 (s⁻¹) | 1760 | 1290 |
| 充填期间锁模力 (kN) | 430 | 290 |
| 保压期间锁模力 (kN) | 730 | 397 |
先前针对 1.4 mm 壁厚给出的结果已在笔记本电脑边框中实施。两个浇口位于左右侧壁的中心。模拟（Moldflow MPI 5.1）针对 ABS（Cycolac MG47）进行，熔体温度 239°C，模具温度 60°C，充填时间 0.25 s，对应熔体线速度 0.8 m/s。
模拟预测的充填压力为 104 MPa，与解析充填压力 90 MPa 相当吻合。预期模拟会预测出更高的压力，因为它对凝固层的发展以及加强筋、boss柱和其他薄壁区段中的流动进行了建模。模拟预测的熔体主体温度升高 10°C，这验证了解析推导的熔体速度是一个合理的估计。
所述分析与商业模拟在充填期间预测的锁模力相对接近。所提出的分析是保守的，因此预测的锁模力偏高。相比之下，模拟对整个型腔内熔体的凝固以及由此产生的熔体压力衰减进行了建模。因此，模拟预测的锁模力低得多，为 397 kN，出现在保压阶段开始后 1.2 s 处。虽然该锁模力可能在此时刻出现，但它并不代表保压阶段刚开始时出现的峰值锁模力，也不代表注塑机控制器超出速度—保压切换位置时可能需要的锁模力。
5.5.4 预测充填模式
利用摊平分析技术可以方便地预测充填模式，这有助于理解熔体充填模具的行为、确定浇口位置、识别熔接线位置以及协助模具设计的其他方面。下面将针对一个五面容器进行分析，其宽度、长度和高度分别为 100 mm、160 mm 和 60 mm。该容器如图 5.15 所示，具有 2° 脱模斜度和 10 mm 圆角。假定采用两板模，容器将在侧壁边缘处进浇。
图 5.15：用于预测充填模式的容器（图略）
为了预测充填模式，在容器的角部将各侧面”切开”，并将侧壁向下折平，形成摊平图。接着确定浇口位置。熔体将从浇口流出，形成圆形的熔体前沿。因此，可以从浇口画一段圆弧，表示熔体在某一给定时刻的位置。图 5.16 给出了摊平图和一些早期的熔体前沿位置。
图 5.16：摊平图与最初若干熔体前沿位置（图略）
图 5.16 中的每段圆弧对应熔体前沿在不同时间步的位置；相邻圆弧之间的距离等于熔体线速度乘以时间步长。第一时间步的熔体位置是正确的，但到第二时间步结束时，熔体将撞上相邻的侧壁。因此，必须在这些相邻侧壁上画出额外的圆弧，以反映各时间步熔体流动的位置。为了正确预测流动行为，分析必须使模具各部分中流动的熔体保持相同的流动阻力。这可以通过建立一个”虚拟浇口”（phantom gate）来实现，并使从该虚拟浇口出发的流动长度与从真实浇口出发的流动长度保持一致。对每个时间步，增加流动长度并画出相应半径的圆弧。然后将对应同一时间步的相交圆弧进行修剪。不断推进流动，并按需添加更多虚拟浇口，直至整个摊平图上的流动全部生成。
图 5.17 展示了这一熔体前沿预测过程以及容器最终的熔体前沿位置。可以观察到，熔体沿侧壁竞流，将在与浇口相对的侧壁上形成一条熔接线和一个困气。这种现象称为”竞流效应”（race-tracking），在注塑件中相当常见；当沿塑件周边流动的长度小于沿塑件中心线流动的长度时就会发生。
图 5.17：均匀壁厚塑件的熔体前沿位置（图略）
在本例中，竞流效应发生的原因是容器 60 mm 的深度超过了容器 100 mm 宽度的一半。熔接线固然不理想，但如图 5.17 所示位于侧壁上的困气尤其麻烦，因为该位置难以排气。因此，被困空气很可能燃烧，在该位置形成烧焦痕。
5.5.5 导流（流动引导）设计
上例中的困气本可以通过将边缘浇口移到 160 mm 长侧壁的中心来避免，或者采用三板模或热流道模具在型腔中心进浇。然而，有时模具布局排除了这些设计方案。此时，另一种替代方案是改变厚度，使熔体有意地在模具的某些部分流动得更快 [14, 15]。这种用于控制流速的加厚区段一般称为”导流区”（flow leaders）。应当理解，如 2.3.1 节所述，塑件中的厚度变化通常是不可取的。基于该节讨论的原因，型腔厚度变化应保持在最低限度。
下面用牛顿流动分析重新设计容器的壁厚，以解决竞流问题。式 5.17 建立了压力降、速度与厚度之间的关系。为消除竞流，沿中心线的压力降应等于沿周边的压力降。
这一条件将确保沿中心线的流动与到达相邻侧壁远端的流动在同一时刻完成，从而消除竞流现象。各流动长度见图 5.18。根据容器的几何形状，沿中心线和绕侧壁的流动长度分别计算为 280 mm 和 210 mm。
图 5.18：标注流动长度的摊平图（图略）
由式 5.17，沿中心线和绕侧壁的压力降可分别求出并令其相等：
不同区段中的熔体速度并不相等。事实上，希望周边的速度为
这一条件将使熔体到达侧壁远端角部的时间，与熔体沿中心线到达型腔对侧的时间相同。将此关系代入式 5.31，求解侧壁厚度
分析表明，壁厚大致与流动长度之比成正比，而对熔体黏度的依赖较弱。假定整个型腔内黏度相同，侧壁厚度可求为
摊平分析也可用于预测变壁厚塑件的充填模式。当壁厚变化时，需要增大圆弧半径，以表示熔体在该时间步内走过的距离。在本例中，侧壁厚度的选取使得侧壁中熔体的速度为：
在摊平分析中，较薄区段内每段圆弧的半径应按较厚区段圆弧的 75% 递增。仍使用同一个虚拟浇口，重新设计后容器的熔体前沿推进如图 5.19 所示。沿侧壁边缘的箭头表示该区段熔体前沿在各时间步的递增位置。分析表明，熔体确实在到达浇口对侧型腔边缘之前先到达侧壁末端。
图 5.19：带导流区塑件的熔体前沿位置（图略）
为验证摊平法，对两个容器进行了数值模拟：一个容器具有 2 mm 的均匀壁厚，另一个容器的侧壁厚度减至 1.5 mm。结果如图 5.20 所示。
图 5.20：无导流区与有导流区的模拟熔体前沿（图略）
与摊平分析一致，模拟表明不带导流区的容器会出现竞流效应、熔接线和困气。将侧壁厚度减至 1.5 mm 则消除了这些问题。作为参考，侧壁厚度从 2 mm 减至 1.5 mm 确实使充满较薄侧壁所需的注射压力提高了 10%，但也使塑件重量降低了相近的幅度。
5.6 本章回顾
所有模具工程设计都应考虑黏性聚合物熔体在整个型腔中的推进。数值模拟因其能够快速而准确地处理复杂几何形状中的非牛顿流动而备受青睐。然而，采用牛顿黏度模型和幂律黏度模型的分析并不难使用，且已被证明能给出合理的结果。
充填分析最重要的目的是确保所选熔融塑料能够完全充满模具型腔。如果型腔壁厚过薄，充满型腔所需的熔体压力超过注塑机的能力，就会产生不完整的塑件（称为”短射”）。成型厂商会尝试通过提高熔体温度或注射压力，或改用其他树脂来补救。如果这些尝试不成功，则模具需要进行设计更改，包括增加更多浇口、加大浇注系统直径、增大模具型腔壁厚或其他改动。此类对模具的实体修改可能成本高昂且耗时。
充填分析还可用于估算锁模力、优化壁厚、估算工艺条件、预测塑料熔体在整个型腔中的推进，以及通过浇口定位或导流区设计来解决充填问题。虽然式 5.17 和式 5.22 给出的牛顿模型和幂律模型控制方程看起来很简单，但要获得有用的解必须谨慎应用。建议充填分析在求黏度时采用中值熔体温度，并在使用牛顿模型时核实黏度对剪切速率的依赖性。
读完本章后，你应当理解：
- 剪切应力、剪切速率与黏度之间的关系；
- 型腔充填时间、熔体线速度与体积流量之间的关系；
- 牛顿模型和幂律模型建立过程中所做的假设，以及使用它们时可能遇到的问题；
- 如何估算模具型腔内从浇口到流动末端的流动长度；
- 如何用牛顿模型或幂律模型计算矩形型腔内熔体流动的剪切速率、黏度、充填压力和锁模力；以及
- 如何根据材料性能和最大充填压力估算成型应用中的最小壁厚。
下一章将考察两板模、三板模和热流道模具的浇注系统设计。将介绍圆柱形和环形构件中黏性熔体的流动分析，并将其用于浇注系统设计。随后，在讨论冷却和模具设计的其他要素之前，将介绍浇口的分析与设计。
5.7 参考文献
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