第 1 章：初试身手

1 初试身手

大多数技术教育强调精确答案。若你是物理学家，你会把氢原子的能级求到小数点后六位。若你是化学家，你会把反应速率和浓度测到小数点后两位或三位。在本书中，你将学习互补的技能。你会学到，近似答案不只是足够好，它往往比精确答案更有用。面对一个陌生问题时，你首先要了解主要思想和重要原理，因为这些思想和原理构造了你对问题的理解。与其一步到位形成精细的分析，不如在已有理解之上加以细化。

书名中的形容词“数量级”反映了我们对近似的强调。一个数量级是 10 倍。“在一个数量级之内”，或“按数量级”估计某个量，意思是你的估计值大致落在真实值上下各 10 倍的范围内。本章介绍确定此类近似的艺术。

写作障碍靠写作打破，估算障碍靠估算打破。因此，我们从预算估计或纸尿裤年产量等日常例子开始研究近似。这些热身题会锻炼你的估算肌肉，它们可能已经在多年传统教育中沉睡。热身之后，我们介绍一种更微妙的方法，标度关系。

1.1 热身题

日常估算为后面的题目提供练习，也提供一种检验你所见信息是否合理的方法。假设一篇报纸文章说，美国医疗保健的年度成本很快会超过 1 万亿美元。每当读到这种说法，你都应自动思考：这个数字看起来合理吗？它小得离谱，还是大得离谱？你需要进行这类估算的方法，我们将在若干例子中发展这些方法。第一个例子献给需要在物理学之外谋职的物理学家。

1.1.1 运钞车

一辆装满的 Brinks 装甲运钞车里有多少钱？

钱的数额取决于汽车大小、钞票面额、每张钞票的体积、钞票之间的空气量及许多其他因素。这个问题乍看之下很模糊。你将通过本书的练习和例子学会的一项重要技能，就是该作什么假设。因为我们不需要精确答案，任何合理的一组假设都可以。开始行动比面面俱到更重要，作一个假设，任何假设，然后开始。等你对问题有了感觉、了解哪些假设最关键之后，再改正那些明显的谎言。若你因不愿说出明显的谎言而保持沉默，就永远不会发现任何东西。

先说明我们的等式约定，按精确程度由低到高排列。我们用 表示比例关系，此时 左右两边的单位并不匹配。例如，牛顿第二定律可写作 。我们用 表示量纲正确的关系，左右两边单位匹配，且通常在任一方向上精确到约 5 倍。例如，

和 一样， 表示我们略去了一个常数。不过对于 ，该常数是无量纲的。我们用 强调一个关系精确到约 20% 或 30%。有时 关系也有那么精确，语境会说明其中区别。

现在回到运钞车。它装了多少钱？在尝试系统方法前，先猜一猜。若你有些知识，或许你在保险公司工作，恰好写过运钞公司购买的保单，就作一个有根据的猜测。若你毫无所知，就作一个没根据的猜测。等得到更可靠的估计后，再把它与猜测比较。你那台奇妙的学习机器，也就是大脑，会神奇地改善你对下一题的猜测。你在训练直觉，而且正如本例结尾所见，也在帮助记忆。纯粹猜测的话，我们说运钞车里有 100 万美元。

现在介绍一种系统方法。许多估算的一般方法，是把问题拆成我们能处理的部分，也就是分而治之。按日常标准，金额很大。这种巨大性提示我们把问题拆成更小的块，以便更可靠地估计。若知道汽车体积 和一张美元钞票的体积 ，就可通过两体积相除来数车内钞票数，。数出钞票后，再考虑面额，也就是再次分而治之。我们不想说 。体积估计很容易有 30% 或 40% 的误差，也可能只有一小部分储存空间被钞票占据。我们不想作出承诺。¹

我们已把问题分成两个较简单的子问题：确定汽车体积，以及确定一张钞票体积。一辆装甲车的体积是多少？其储存空间形状古怪，有台阶、角落、凹处和缝隙。即使知道五十多个尺寸，也没有简单公式会给出体积。这正是数量级物理学设计来处理的情形，问题杂乱而且信息不足。因此我们巧妙地说谎：假装储存空间是一个体积可求的简单形状。这里我们假定它是长方体，见图 1.1。

为估计长方体的体积，我们分而治之，把体积估计分解成对长方体三个尺寸的估计。公式的复合结构

提示我们分而治之。一个普通身材的人大概能在车内躺下且仍有余地，因此每个尺寸大约为 ，内部体积为

在本书中， 几乎总是 10。我们已经在用粗略近似，且在 中以 标示出来，所以不值得费力追踪一个 1.25 的因子，也就是用 10 而非 8 得来的因子。我们把 换算成 ，是为了准备美元钞票体积的计算。我们要使用与美元钞票体积匹配的单位，它肯定远小于 。

图 1.1　Brinks 装甲运钞车的内部。实际形状不规则，但按数量级，内部是一个立方体。一个人可能可以躺下或站立，且仍有余地，所以我们估计体积为 。

现在估计一张美元钞票的体积，美国各种面额的体积大致相同。你可把尺放在美元钞票旁，也可仅猜测钞票长宽为 2 或 3 英寸乘 6 英寸，或 。为培养对尺寸的感觉，先猜，若感到不安，再用尺检查。随着尺寸感发展，你需要拿尺的次数会越来越少。美元钞票有多厚？现在采用另一种数量级技术，游击战。我们抓住能得到的任何信息。² 美元钞票是什么？我们巧妙地说谎，说它就是普通纸。纸有多厚？在编写本教材所用电脑旁边曾有一台激光打印机，打印机旁有一令激光打印纸。一令纸有 500 张，厚约 ，所以一张优质纸的厚度为 。现在我们有了计算钞票体积所需的各部分：

计算运钞车体积和钞票体积的原始目的，是找出车能装多少张钞票：。若钱都是 20 美元钞票，车里将有 2 亿美元。

钞票也可能是 1 美元、1000 美元，或其间任何面额。我们选中间面额 20 美元，因为它几乎位于 1 美元和 1000 美元之间的中点。你自然会反对，说 500 美元而非 20 美元才位于中点。我们很快回答这个反对意见。先暂停讨论一种一般估算方法，与直觉交谈。你常须估计自己只有极少知识的量。这时可从对世界的巨大隐性知识储备中取用知识，你拥有它，却不容易把它写下来。你通过与直觉交谈提取这类知识，对那个内在传感器问具体问题，听它返回的感觉。你在生活的其他方面已经进行过此类交谈。在母语中，你隐含地知道语法。错误句子听起来很别扭，即使你不知道被违反的规则。这里，我们须估计运钞车所载钞票的面额，假定它大部分装同一面额。我们问自己：“装满一美元钞票的运钞车听起来怎样？”知道世界语法的直觉回答：“听起来有点荒谬。一美元钞票不值得如此大费周章。而且每台自动取款机都吐出 20 美元钞票，所以 20 美元钞票更可能。”然后问：“装满千元钞票的卡车呢？”直觉回答：“不，听起来太夸张了，从没见过千元钞票，大概是收藏品，不是供一般流通的。”经过这番有益的对话，我们决定猜一个介于 1 美元和 1000 美元之间的值。

我们在对数尺度上解释“介于之间”，故选择一个接近几何平均值的数，。在对数尺度上插值，比在线性尺度上插值更合适、更准确，因为我们要在一连串乘除中使用此数。让我们问直觉对邻近估计的看法，以检验 30 是否合理。对 10 美元或 100 美元钞票，它不置可否，两者听起来都合理。因此，我们对 30 的估计大概合理。由于没有 30 美元钞票，我们采用相近的实际面额 20 美元。

假定为 20 美元钞票，我们估计车里有 2 亿美元，远大于最初的 100 万美元猜测。这种巨大差异使我们怀疑原先猜测或新估计中有一个不对。因此以另一种方式估计货币价值，交叉检验答案。通过寻找另一种解法，我们对这个领域了解更多。若新估计同先前估计相符，我们就对第一个估计更有信心。若不相符，它可能帮助我们找出第一个估计中的错误。

我们根据可用空间估计了装载能力。还能怎样估计？装甲车除空间有限外，不能承载无限质量。因此估计钞票质量而非体积。一张钞票质量是多少？若知道钞票密度，就可利用 (1.4) 中算出的体积确定质量。为找密度，采用游击方法。钱是纸，纸是什么？纸是木材或织物，除去许多复杂加工阶段，这些阶段的分析超出本书范围。这里我们刚用了另一种数量级技术，搁置。当造纸等过程看起来可怕时，忘掉它，希望最后没事。无知是福。更重要的是先得到估计，之后可以改正严重不准确的假设。木材密度多大？再次使用游击方法。木头勉强能浮，所以其密度大约为水的密度，。一张钞票体积 ，质量 。而 的钞票质量为 吨。³

这批货物很大。公吨为 ，英吨，愿这种度量早日消亡，约为 ，对我们而言也可看作 。是什么使 10 吨很大？不是数字 10 本身很大。要明白为什么不是，考虑如下极端论证：

• 以百万吨计，货物为 百万吨，它是很小的货物，因为 是很小的数。
• 以克计，货物为 ，它是巨大的货物，因为 是巨大的数。

你可能反对，这些论证是花招，因为克和百万吨都不是测量卡车货物的合理单位，吨才是合理单位。反对正确。当指定合理单位时，你隐含地选择了比较标准。寓意是：带单位的量，例如吨，本身不可能大。它必须与有相同单位的量相比才算大。这一论证预示了第 2 章的主题，量纲分析。

所以必须把 10 吨同另一质量比较。可把它同细菌质量相比，从而得知 10 吨相对较大。但要了解 Brinks 装甲车的载货能力，应与运输有关的质量比较。因此，把它同铁路道口和许多桥上的质量限制比较，这些限制通常为 2 或 3 吨。与此质量相比，10 吨很大。这样的装甲车无法驶往许多地方。也许 1 吨货物是对质量更合理的估计，对应 张钞票。可通过装甲车发动机尺寸交叉检验这个货物估计，其发动机大约与中型皮卡发动机同样大，而皮卡可载 1 或 2 吨货物，大约 20 或 30 箱书，见例 3.1。若钱都是 20 美元钞票，车里有 2000 万美元。最初纯猜的 100 万美元仍比这个估计小约一个数量级，但我们对新估计更有信心，它在 100 万和 2 亿美元之间大致居中，我们在对数尺度上找中点。1997 年 9 月 18 日的路透社新闻报道美国史上最大运钞车抢劫案，窃贼抢走 1800 万美元。因此我们的估计对于一辆储备充足的车是准确的，典型抢劫案的收入在 100 万至 300 万美元之间。

我们详细回答第一个问题，是为了说明许多数量级技术。我们看到巧妙说谎的价值，把美元钞票纸近似为普通纸，又把普通纸近似为木头。我们看到进行游击战的价值，利用木头勉强漂浮这一知识估计木头密度。我们看到交叉检验的价值，估计货物的质量和体积，以确保没有犯下明显大错。我们还看到分而治之的价值，把体积估计拆成长度、宽度和厚度的乘积。把问题分解成因子，除使估计成为可能外，还有另一个优点：它通常降低估计误差。关于猜测或许有一个一般规则，即对数的误差为一个相当固定的分数。若一步猜出约 10 亿的数，可能会有约 10 倍误差。若把 10 亿分成四块，每一块的估计误差会是 倍。然后可以希望误差不相关，因而像随机游走的步数一样组合。那么乘积的误差为 ，小于一次性猜测的 10 倍误差。因此，根据这种数量级误差分析，把估计拆成几块能降低误差。

1.1.2 加利福尼亚州帕萨迪纳的照明成本

照明帕萨迪纳街道的年度成本是多少？

天文学家希望这项成本很大，这样他们就能主张夜晚关闭路灯，更好地凝望天体。如第 1.1.1 节，立刻猜一个成本，以训练直觉。于是猜照明每年花 100 万美元。这个数不可靠。与直觉交谈后发现，10 万美元听起来也可以，1000 万美元也行，尽管 1 亿美元听起来太高。

这项成本是大数，不在通常成本范围内，因此难以一步估计。我们刚才尝试猜测，但并不确定正确值在 10 倍范围内。于是分而治之。首先估计灯的数目，再估计每盏灯的照明成本。

为估计灯数，另一个很大而难猜的数，我们再次分而治之：估计帕萨迪纳面积，再除以每盏灯覆盖的面积，如图 1.2。还有一个因素，照亮土地所占比例，称它为 。在沙漠中， 也许为 0.01。在帕萨迪纳这样的典型城市， 接近 1.0。先假定 得到初步估计，再估计 并相应修正成本。

现在估计帕萨迪纳面积。它是什么形状？可以看地图，但作为懒惰的安乐椅理论家，我们说谎，假定帕萨迪纳是正方形。开车离开帕萨迪纳需要，比如，10 分钟，或许以 行驶。帕萨迪纳长度约为 。因此其面积 。真实面积为 ，即 。每盏灯覆盖多大面积？在汽车中，取 或约 ，从一根灯柱到下一根需 2 或 3 秒，对应约 的间距。因此，，灯数为 。

图 1.2　按数量级绘制的加利福尼亚州帕萨迪纳地图。小阴影方框为一盏灯覆盖的区域。方框并未按比例绘制，因为若按比例，它只有几像素宽。大正方形能装下多少这种方框？开车离开帕萨迪纳需 10 分钟，所以帕萨迪纳面积为 。行车时每 3 秒经过一盏灯，因此估计每 有一盏灯。每盏灯覆盖面积 。

每盏灯运行要花多少钱？通过估计其一年消耗能量和每单位能量价格来估计成本，仍是分而治之。能量等于功率乘时间。我们可相当准确地估计功率，因为熟悉家中的灯。估计一个量时，尽量同相关而熟悉的量比较。街灯比家用 灯泡亮，但可能也更有效率，所以猜每盏灯功率 。全部 盏灯消耗 。设灯每晚亮 8 小时，即每年 3000 小时，则消耗 千瓦时。电费账单会告诉你电价为每千瓦时 0.08 美元，若住在帕萨迪纳，则所有灯的年度成本为 300 万美元。

现在通过估计比例 改进这个结果。帕萨迪纳的什么特征决定 ？考虑两个极端情况，沙漠和纽约市。在沙漠中， 小，因为街道间隔大，且许多街道没有路灯。在纽约市， 高，因为街道密集，大多数街道布满路灯。因此相关因素是街道间距，称为 ，和有灯街道比例，称为 。纽约市所有行人都知道，南北向 10 个街区或东西向 20 个街区为 1 英里，即 ，所以 。帕萨迪纳的街道布局更接近纽约市而非沙漠，所以也采用 。若每条街都有灯，帕萨迪纳中多大比例会被照亮？图 1.3 显示计算，结果为 。在纽约市，。在帕萨迪纳， 更合适。因此 。于是年成本估计为 100 万美元。最初猜测出乎意料地准确。

图 1.3　帕萨迪纳被照亮的比例。街道，粗线，间隔为 。每盏灯间隔 ，照亮一个 区域，八个未着色小方格。唯一未照亮的区域在街区中央，阴影方格，它占街区面积四分之一。因此若每条街都有灯，。

练习这类估算时，你将能把它们紧凑写下，逐步换算单位直到目标单位，这里是美元每年。成本为

不使用计算器做算术很有教益。就像开车去邻居家会使肌肉萎缩，用计算器做简单算术会使心智迟钝。你不会培养对量应有多大的天生感觉，也学不会何时犯了错误，只学会按键。若需要六位精度的答案，就用计算器，这正是它们适合的任务。数量级估算中，一位或两位精度已足够。你可轻易在心算中完成这些低精度计算。

帕萨迪纳天文学家会因成本大而欢欣吗？成本有单位，这里为美元，所以必须同另一项相关成本比较。这里那项成本是帕萨迪纳预算。若照明占预算显著部分，才可说照明成本大。

1.1.3 帕萨迪纳的预算

帕萨迪纳预算中有多少比例用于街道照明？

我们刚估计了照明成本，现在要估计帕萨迪纳预算。不过先作初始猜测。像街道照明这样平常的服务若消耗城市预算的 10%，就太荒谬了。城市还须支持道路建设、警察、市政厅和学校。1% 是更合理的猜测。预算应约为 1 亿美元。

猜过预算后，怎样估计它？预算是支出金额。这些钱必定有来源，至少大多数如此。即使美国政府也适度遵守收入 支出的规则。因此可通过估计收入来估计支出。大多数美国市镇从财产税获得收入。我们通过估计人均财产税，再乘以城市人口，估计城市收入。

每个人直接缴纳财产税，若她拥有土地，或间接缴纳，若她向拥有土地者租房。帕萨迪纳典型人均月租金，两人公寓，为 500 美元，即每年 6000 美元。当地报纸租房栏目会告诉你所在地区租金。天气好、烟雾较少的地方，如旧金山地区，人均月租更高，约 1500 美元。根据当租金飙升、人们对该主题兴趣提高时偶尔登在报纸上的文章，大约 20% 租金用于房东的财产税。因此估计人均年度财产税为 1000 美元。

帕萨迪纳约有 人，进入帕萨迪纳的道路标志上就写着这个数。因此年度征税为 2 亿美元。若把联邦补贴加到预算中，总预算大概是两倍，即 4 亿美元。这类财务计算的一条经验法则是，把你作出的任何估计加倍，以修正你忘记包括的成本或收入。这条经验法则并不绝对可靠。可在本例中通过估计联邦贡献来检验。联邦预算约为 2 万亿美元，或美国每人 6000 美元，任何近期年鉴都会给出联邦预算和美国人口。6000 美元的一半用于国防开支和国债利息，若剩余 3000 美元中整整一半给城市，就令人惊讶。也许人均 1000 美元给了城市，大致等于城市从财产税征得的金额。我们的加倍规则在本例中准确。

为练习，我们通过估计帕萨迪纳土地总价值和猜测税率，交叉检验 2 亿美元的地方税估计。帕萨迪纳面积为 ，且 英亩。你可查这个英亩至平方英里的换算，或记得根据宅地法，美国政府以 160 英亩一块分配土地，称为四分之一地块，因为它们为 。南加州地价高得离谱，阳光、沙滩、海浪和山脉全在数小时车程内。成本约为每英亩 100 万美元，可通过看报纸售房栏目确定。我们猜财产税为财产价值的 1%。可通过询问任何房主或市政厅，确定一个更准确数值。总税额为

此收入与先前地方收入估计相同，这种相等增加了我们对估计的信心。为检验估计，我们查阅了帕萨迪纳预算。1990 年它为 3.5 亿美元。这个值比我们有理由期待的更接近 4 亿美元估计。

第 1.1.2 节算出的照明成本仅消耗市预算的 0.2%。天文学家不应等待帕萨迪纳关灯。

1.1.4 纸尿裤生产

美国每年生产多少一次性纸尿裤？

先猜一下。由于环保人士曾建议禁止一次性纸尿裤以节省垃圾填埋空间并减少废弃塑料，引起了巨大抗议，所以数目必在百万量级，譬如 1000 万。为估计如此大数，我们分而治之。估计纸尿裤使用者数目，婴儿，假定所有婴儿使用纸尿裤、其他人不用，以及每个婴儿一年使用的纸尿裤数。这些假设不特别准确，但提供了估计的起点。有多少婴儿？现定义婴儿为未满 2 岁的儿童。人口中有多少比例是婴儿？为估计此比例，先假定人人恰好活 70 年，美国预期寿命的大致值，然后突然死亡。预期寿命实际更接近 77 岁，但考虑其余估计的不准确性，10% 误差并不重要。

若原先不知道平均年龄，怎样推算它？在美国，政府退休金，即社会保障，65 岁开始发放，这是典型退休年龄。若预期寿命低于 65 岁，比如 55 岁，就会有太多人抱怨社会保障亏待他们，制度大概会改变。若预期寿命远长于 65 岁，比如 90 岁，社会保障成本会高得多。它必须支付 年退休金，而不是 年，增加 2.5 倍。它早该破产。因此预期寿命必在 70 或 80 岁左右。若明显变长，预计退休年龄也会相应提高。为明确起见，选一个值，70 岁。即使 80 岁是较准确估计，也只会有 15% 误差，可能小于我们猜测纸尿裤使用截止年龄的误差。为这 15% 苦恼，几乎不会提高最终估计准确性。

为计算年龄在 0 至 2 岁间的人数，考虑类似问题。一所四年制大学，学生均在四年毕业且不接受转学生，有 1000 名学生，每年毕业班有多少人？答案为 250，因为 。可将此论证写成如下数学。令 为人的寿命。假设人口稳定，出生率和死亡率相等。令该速率为 。则总人口为 ，年龄在 与 之间的人口为

所以，若人人恰好活 70 年，年龄在 0 至 2 岁间的人口比例为 ，即约 0.03，见图 1.4。美国约有 人，所以

图 1.4　人数相对于年龄，美国。真实年龄分布不规则而杂乱。若不查资料，我们无法知道 0.0 至 2.0 岁间的面积，也就是估计婴儿人数所需的面积。矩形图面积相同、宽度相近，立刻清楚说明 2 岁以下比例为何，它约为 。美国人口约为 ，所以婴儿数约为 。

我们刚见到另一个巧妙说谎例子。图 1.4 的锯齿曲线是美国实际死亡率曲线的漫画版本。我们把该曲线简化为箱形，即矩形，因为知道如何处理矩形。我们不对复杂锯齿曲线积分，而是对一个简单、文明的曲线积分，面积相同且宽度相近的矩形。此过程是数量级积分。同样，研究 Brinks 装甲车例子时，第 1.1.1 节，我们假装货物空间是立方体。这一过程是数量级几何。

每个婴儿每年使用多少纸尿裤？这个数很大，也许 100，也许 10000，因此随意猜测不大可能准确。我们分而治之，把一年分成 365 天。设每个婴儿每天使用 8 片纸尿裤。新生儿用得更多，年龄较大的幼儿用得更少。我们的估计是合理折中。则每个婴儿年度使用约 3000 片，所有 名婴儿使用 片纸尿裤。实际年产量为 片，所以初始猜测低了，系统估计高了。

本例还说明如何处理流动。人从一个年龄进入下一个年龄，平均在 70 岁时离开流，即死亡。仅由这个知识，很难估计 2 岁以下儿童数。只有精算表能给出精确信息。我们反而发明一张使计算简单的表，人人活到预期寿命，然后突然死亡。计算很简单，而且其近似至少和假定每个儿童恰用 2 年纸尿裤一样准确。在乘积中，误差由最不确定因子主导。若使其他因子比最不确定因子更准确，就是浪费时间。

1.1.5 陨石撞击

每年有多少大陨石撞击地球？

这个问题尚未清楚定义，什么叫“大”？探索新领域时，常须估计这种定义不清的量。现实世界是杂乱的。回答问题前，必须约束问题。回答后，即使只是粗略近似，你会更清楚理解该领域，知道哪些约束有用，也知道如何改进它们。若候选假设集产生极不准确的估计，比如差了 100000 倍，你就能确定假设含有根本缺陷。精确求解这样不准确的模型是在浪费时间。数量级分析可避免这种浪费，为建立更现实模型节省时间。对假设满意后，才可投入精力细化模型。

《Sky&Telescope》杂志每年报道大约一次陨石撞击。不过，我们不能简单得出每年只有一颗大陨石坠落的结论，因为《Sky&Telescope》显然不报道落入海洋或玉米地中央的陨石。必须把这个数上调，乘以一个考虑《Sky&Telescope》报道所覆盖截面，有效面积，的因子，见图 1.5。大多数报道提到撞击汽车或房屋等昂贵的大型财产，且来自有 人的工业国家。每人的汽车和居住空间占多少目标面积？她的汽车可能占 ，居住空间，一套房屋或公寓的一部分，可能占 。住在独栋平房的乡村居民呈现的目标比 大，或许 。住在公寓的城市居民呈现的目标比 小，这可由下述论证理解。假定落在城市的陨石撞穿 10 层楼。目标面积是建筑屋顶面积，是该楼公寓总面积的十分之一。在城市中，一套双人公寓的典型面积或为 ，人均典型目标面积为 。我们估计的 是乡村的 与城市的 之间的折中。

由于每个人呈现目标面积 ，报道覆盖总面积为 。地球表面积为 ，所以每年一次撞击的报道仅覆盖地球表面的分数 。我们把最初撞击估计乘以其倒数 ，估计每年有 次大陨石撞击。在解答中，我们用《Sky&Telescope》采用的标准，隐含地定义了“大”。

图 1.5　地表大陨石撞击。地表以一个圆表示，每年有一次陨石撞击，黑方块，造成足以被《Sky&Telescope》报道的损害。灰方块是这种陨石撞击会被报道的区域，例如工业国家中的房屋或汽车，其总面积 。灰方块仅覆盖地球表面的一小部分。全地球上大撞击的预计次数为 ，其中 为地球表面积。

1.2 标度分析

在前面大多数例子中，我们用机会主义的小技巧确定哪些数相乘。现在介绍一种新方法，标度，用于简单乘法不足以解决的问题。我们不先解释标度论证是什么，而是先作一个，再解释做了什么。学习语言最快方式是听和说。物理学也不例外，你在例子中听它，在习题中说它。

1.2.1 月球上的重力

月球表面的重力加速度是多少？

先猜。它应是 、，还是 ？它们听起来都合理，所以作阻力最小的猜测，到处都如我们的本地环境，说 ，即 。现在作系统估计。

我们采用的方法最终会表明，如何在不知道引力常数 等物理常数的情况下作估计。先给出错误解，以便同正确且更简单的数量级解对照。月球表面重力加速度由牛顿万有引力定律给出，见图 1.6：

错误方法中，我们查阅，例如详尽而有用的《CRC 化学与物理手册》中的月球 和 以及基本常数 ，得到

这又是可心算的算术计算。你也许会对自己说：“先数 10 的幂。分子有 17 个幂，，分母有 16 个幂，，相除后余下 1 个 10 的幂。然后考虑前因子，忽略 10 的因子。分子有 ，约为 。分母有 。因此前因子给出 。加入一个 10 的幂，得到 160。”

这种蛮力方法，查出每一个量再做算术，容易理解，也是获得初步解的合理方式。然而它没有启发性。例如，当把 同 比较时，你会注意到 仅比 小约 6 倍。在 (1.10) 中所乘除的巨大数字下， 很容易是 或 。为什么 和 如此接近，只差 6 倍？蛮力方法只显示 、 和 中的巨大数近乎抵消，产生了中等的 加速度。

所以尝试一种更有洞见的方法。其优点是不用知道 ，只须知道 。此法不如蛮力法准确，却会教给我们更多物理。它说明近似答案如何比精确答案更有用。

我们通过同 作标度比较来求月球 。值得记住 ，因为许多估算依赖其值。由 (1.9) 开始。我们用密度 和半径 作为自变量，而不用 和 。我们没有丢失信息，因为可从质量和半径计算密度，照例假定天体具有最简单形状，球体。我们偏好密度而非质量，因为密度和半径比质量和半径更正交。在思想实验中，数量级分析大多是思想实验，我们可想象由同种岩石组成、更大的月球。放大月球改变 和 ，却不改变 。要在改变 时保持 固定，需要更大的想象壮举，我们打碎月球，再用脚手架使碎片保持适当距离。

对于密度恒定的球，，故 (1.9) 变为

此标度关系说明 如何随密度和半径变化，也就是如何标度。我们只保留从地球到月球会改变的变量和因子。比例号 允许我们消去诸如 的常数和 等数值因子。

若地球和月球有相同半径及相同岩石平均密度，我们可通过消去 与 ，把 (1.11) 进一步化为 。这些假设不准确，但使标度关系简单。很快会修正它们。因此，在这个简单模型中， 和 相等，这部分解释了二者相差不大的 6 倍因子。粗略理解因子 6 后，把它看作接近 1 的常数，我们追求更高准确性，并消除最不准确的近似。第一个要修正的近似，是地球和月球半径相同的假设。若 在地球和月球可以不同，则 (1.11) 变为 ，从而 。

是多少？再次采用游击方法。满月时，在手臂长度处举起的拇指刚好遮住人眼看到的月球。典型人臂长 ，典型拇指宽 ，所张角为 。月球距地球 ，故其直径为 。因此 。相较之下，，所以 。我们已经解释了因子 6 的很大部分。在解释剩余部分前，让我们从熟悉的月球轨道参数估计 。数量级物理学的目标之一，是表明你可用已有知识作许多估计。把这一哲学用于估计月球轨道半径。一个熟悉参数是周期， 天。月球因地球引力场沿圆轨道运行。地球重力在距地心 处有什么作用？在距地心 处，重力加速度为 。在 处，它为 ，因为引力，因而加速度，正比于距离的 次方。月球做圆周运动所需加速度为 。以我们知道的周期表示，该加速度为 。所以

轨道半径为

这与实际值 很接近。

图 1.6　数量级天体。该天体近似为球，半径为 ，密度均匀为 。质量为 的方块位于表面，感受引力 ，其中 是天体质量。所得加速度为 。若所有感兴趣天体的 相同，则 。

现在回到解释因子 6。我们已解释了一个因子 3。因子 3 已超过因子 6 的一半，为什么？剩余误差，因子 2，主要必来自假定地球和月球具有相同密度。允许密度变化后，恢复原始标度关系 (1.11)。于是

通常，，而 ，其中 是地壳密度。

尽管没有说明如何由众所周知数值推导月岩密度，但可通过一个从比较地球和月球平均密度得出的推测偿还这笔债。月岩比地球岩石轻。地壳岩石也比平均地球岩石轻，这里的“岩石”包括构成地球的一切材料，包括镍铁内核。当地球年轻时，较重、因而较密的元素沉到地心。事实上，月岩密度接近地壳密度，或许因为月球从地壳中分离出来。即使这个假设不真，它也合乎情理，并提示可能推翻它的实验。它的产生显示标度法优于蛮力法的一项优点：标度法迫使我们比较一个系统的性质与另一个系统的性质。在进行比较时，可能发现有趣假说。

无论月球的早期历史如何，密度比对 (1.14) 中的比值贡献 ，于是得到 。我们解释了因子 6 的大部分。在估计月球半径所用的粗略方法及对密度采用一位精度下，这已经和预期一样多。

蛮力方法，把所有相关数字查表，违背数量级分析的目的。你不用近似，而用精确值，得到精确答案。你把许多物理效应合并进一个方程，因此不容易辨别哪些效应重要。标度方法中，我们先近似地球和月球有相同密度和半径，再修正最不准确的假设，教给我们更多。它解释了为什么 ，因为地球和月球由相似材料组成，且大小大致相同。它解释了为什么 ，因为月岩比地球岩石轻，且月球比地球小。我们得到一系列连续近似：

由于每种近似只引入一个物理效应，容易理解。标度方法另一优点是可提示新理论或假说。考虑月岩和地球岩石密度时，我们被引向关于月球从地壳产生的推测。数量级推理突出重要因子，使有限的大脑能消化它们、从中得出结论，并可能加以扩展。

1.2.2 碰撞

想象你在一个政府安全机构工作，测试各种汽车碰撞时的安全性。预算很紧，所以先让小玩具车而非真车撞向砖墙。实际上，你可能只在计算机模拟中撞车，但计算机程序的数量级分析不是本例主题，所以忽略此可能性。这种碰撞以什么速度会产生扭曲变形的金属？金属玩具车仍可买到，尽管难找。假设你正在用它们。

初始猜测为速度应约 或 ，大约同会严重压坏真车的速度相同，压坏的是车身面板和发动机舱，而非仅保险杠。为什么碰撞使金属弯曲？因为碰撞的动能使金属键变形。我们用标度论证确定所需碰撞速度。

图 1.7 显示一辆即将撞上砖墙的汽车。在数量级世界中，所有车，无论玩具或真车，比例相同，所以区分它们的唯一变量是长度 。因为假定所有车比例相同，本可以用宽度或高度代替长度。可用动能为

扭曲化学键所需能量为

其中 是每原子的结合能或内聚能， 是一个分数修正因子，因为碰撞不必断开每一条键。第 3.2.2 节讨论并估计内聚能。目前只需知道内聚能是对材料中键强度的估计。假定要压坏金属，碰撞必须断开固定比例的键，或许 。令可用能量 (1.16) 等于所需能量 (1.17)，得到

合理地假定 、 与 对所有车，无论玩具或真车，均相同。约去 后，有 。所需速度在所有尺寸下相同，如同我们所猜。

图 1.7　即将撞上砖墙的数量级汽车。它以速度 撞击，提供动能约 ，其中 为汽车质量。使固定比例的键变形所需能量正比于键数。若玩具车和真车由相同金属制成，原子数及总键变形能均正比于 ，即汽车质量。可用动能也正比于 ，所以所需碰撞速度在所有质量下相同，因而在所有尺寸下相同。

现在对问题有零阶理解后，可改进分析。分析假定所有汽车形状相同。玩具车金属相对厚度大于真车，正如地图上的道路相对宽度大于真实道路。因此玩具车质量更大，比简单标度预测的更强。全尺寸汽车的金属会在 碰撞中压坏。玩具车金属可能经受住 碰撞，只有在高得多的速度，如 ，才压坏。

我们的解显示乐观的益处。我们不知道修正因子 或内聚能 ，但若假定它们对所有车相同，就能忽略它们。寓意是：对不知道的量使用符号，它们可能在最后抵消。本例还说明另一种技术，连续近似。我们先作合理分析，隐含假定所有车形状相同，然后改进它。初始分析简单，修正也几乎同样简单。一步完成更准确分析会更困难。

1.2.3 跳跃高度

接下来把标度方法用于理解动物随大小而变的跳跃高度。我们研究从静止起跳，或对不站立的动物，从静止起跳。助跑跳跃依赖不同物理。跳跃高度问题也看起来信息不足。高度取决于动物有多少肌肉、肌肉效率如何、动物形状如何以及更多因素。因此调用另一种数量级方法：当事情困难时，降低标准。我们不易求出绝对高度，转而估计高度如何依赖大小，比例常数留待实验确定。第 1.2.3.1 节建立简单跳跃模型。第 1.2.3.2 节考虑我们在粗略近似中忽略的物理效应。

1.2.3.1 跳跃高度的简单模型

我们只想确定跳跃高度如何随体重标度，也就是变化。即使此问题也很困难，高度仍取决于肌肉效率等。看看只管向前推进、对未知量使用符号能走多远。也许所有未知量都会抵消。我们想要高度 的方程，如 ，其中 是动物质量。跳跃需要能量，必须由肌肉提供。肌肉从糖获得能量，糖从阳光获得能量，但此处不关心能量的最终来源。若能确定所需能量，并同动物所有肌肉能提供的能量比较，就得到 的方程。图 1.8 显示问题的漫画版本。

高度为 的跳跃需要能量 。故可写

表示不用担心使两边单位匹配。我们利用这种自由消去了不相关常数 ，它对地球上所有动物相同，除非某种动物发现了反重力。动物可产生的能量取决于许多因素。我们为每个未知因素使用符号。首先，能量取决于动物有多少肌肉。因此近似地假定动物质量中比例 是肌肉，所有肌肉组织均能储存相同能量密度 ，我们很乐观。于是肌肉能储存的能量为

这里推导了标度关系，说明储存能量如何随质量变化。我们使用 提供的自由消去 和 ，假定它们对所有动物相同。令 (1.19) 所需能量等于 (1.20) 可用能量，得到 ，即 。此比例关系说 与质量无关。结果看起来令人惊讶。直觉说人应比蝗虫跳得高。表 1.1 给出各种大小和形状动物的实测跳跃高度，数据也绘于图 1.9。无论惊讶与否，结果大致正确。

图 1.8　跳跃的动物。质量为 的动物，方块，在肌肉中储存能量，无质量的压缩弹簧。它用此能量跳离地面高度 。所需能量为 。

图 1.9　跳跃高度相对于体重。此图绘出表 1.1 的数据。注意高度变化范围相对质量变化范围很小。质量变化超过 8 个数量级，因子为 ，而跳跃高度仅变 3 倍。所预测的恒定 标度，，准确得令人惊讶。最大误差出现在质量小的一端。跳蚤和叩头虫因空气阻力，跳得不如较大动物高。

动物	质量（g）	高度（cm）
跳蚤		20
叩头虫	0.04	30
蝗虫	3	59
人		60

表 1.1　跳跃高度作为质量的函数。来源：Scaling: Why Animal Size is So Important [17, 第 178 页]。

1.2.3.2 简单模型的扩展

既然对情形有粗略理解，即跳跃高度恒定，便尝试解释更微妙的效应。例如，对跳蚤等微小动物，标度关系失效。它们跳得没有预期那么高。什么可能限制微小动物的跳跃高度？小动物的表面积与体积比大于大动物，因此任何依赖表面积的效应，对小动物都更重要。一个这种效应是空气阻力。尺寸为 的动物受到的阻力 ，如第 2.3.3 节所示。所产生减速度为 ，所以小动物，小 ，比大动物减速更多。要检验效应是否足够大以造成区别，须包括比例常数。例如，对大动物它可能是可忽略效应，对小动物大 10 倍却仍可忽略。若作此估算，会发现空气阻力效应重要，并可部分解释为什么跳蚤不如人跳得高。恒定跳跃高度对于大象等大动物也失效。若它们跳得与人一样高，落地时会折断骨头。

你可能反对，把肌肉简单视为能量储存介质忽略了大量物理。这个批评有效。但若基本模型正确，最好一步步改进模型，而非在早期阶段纳入每一种效应。作为连续细化例子，考虑跳跃的功率需求。所需功率怎样随动物大小标度？功率限制是否阻止动物达到其理论跳跃高度？

功率是单位时间能量。这里是跳跃所需能量除以释放能量所用时间。在 (1.19) 中发现 。因 恒定，。我们这里所做的连续细化依赖至少对问题有初步理解。若未先粗略解出问题，就不会知道 或 。

现在需估计释放能量所需时间，大致为动物起跳时接触地面的时间。设动物以速度 发射。动物蹲至零高度，时钟开始计时，动物开始推动。推动结束、时钟停止时，动物以速度 运动。我们假定起跳过程中它始终以同一速度运动，矩形假设。因此，时钟在时间 停止。起跳速度 对所有动物大致相同，因为 ，而 大致恒定。所以 。

能量怎样随 变化？作最简单假设，所有动物有相同密度和同样立方体形状。则 ，且 ，故 。

由能量和时间估计，所需功率为 。单位体积的所需功率为 。若动物能产生的单位体积最大功率为 ，则足够微小的动物，对它们 很大，可能无法产生足够功率。叩头虫通过在外骨骼中储能解决此问题，且只在储存足够能量后跳跃。它们增大有效 ，从而减小 。

这一极端情形，即微小动物的分析，以及功率需求分析，显示先作简单分析再细化的价值。为完成更细致分析，需要简单分析的结果。若从一开始就试图包括所有因素，如空气阻力、骨折、功耗和储能，就会煮出一锅概念杂烩，难以消化这团乱麻。近似模型提供结构，可在上面建立更细致分析。

1.3 你学到了什么

你现在知道一套基本的数量级技术：

分而治之：把复杂问题拆成可处理的块，尤其当你必须处理极小或极大数字，或当一个公式自然可分解为若干部分时，例如 。

猜测：在解题前作猜测。猜测可提示进攻方法。例如，若猜测得到极小或极大数，可考虑分而治之。猜测可提供粗略估计。之后你可将最终估计记为对猜测的修正。此外，猜测、检查并修改猜测，会改善你的直觉和对未来问题的猜测。

与直觉交谈：猜测时，问直觉它感觉如何。太高吗？太低吗？若它认为两者皆是，猜测大概可靠。

巧妙地说谎：通过假定为求解所需的信息，简化复杂情况。例如，不知道物体形状时，假定它是球或立方体。

交叉检验：用不止一种方法解题，检验答案是否相符。

进行游击战：翻找相关事实，帮助作估计。

搁置：若担心某个物理效应，第一次尝试解答时先不要担心。有效策略是开始估计、探索问题，然后在了解领域后处理例外。

做乐观主义者：这与搁置有关。若一个假设能让解答成为可能，就作此假设，之后再担心损害。

降低标准：若不能按提问要求解出整个问题，就解出能解的部分，因为子问题仍可能有趣。解子问题也会澄清为解原问题需要知道什么。

使用符号：即使不知道某个数值，例如肌肉储存的能量密度，也为它定义符号。它稍后可能抵消。若未抵消且问题仍过于复杂，就降低标准。

在后续章节中，我们会应用这些技术，并介绍更多技术。有一点知识和一套技术，你就能估计许多量。

Footnotes

1. “有一次，在一场独立日庆典上，一位记者奇怪，后来问起为什么墨菲先生，他即使对最亲近的同事也总是墨菲先生，没有加入国歌合唱。‘也许他不想作出承诺，’老板的助手解释道。”引自 Arthur Mann 为 William L. Riordan 所著 Plunkitt of Tammany Hall，纽约：E. P. Dutton，1963 年，第 ix 页，所写的导言。 ↩

2. “我看见我的机会，就抓住它们。”乔治·华盛顿·普伦基特，坦慕尼协会成员，Riordan [15, 第 3 页] 引述。 ↩

3. 可惜，mass 不像 weigh 一样可作及物动词。否则，我们可以写卡车“质量为”10 吨。若你比我们更有勇气，尽管这样用，并开创一个有用趋势。 ↩