2 量纲分析
本章学习一种无需实际求解复杂方程而应对它们的一般方法：量纲分析。此方法很快——比找到诚实解快得多——因此你可以及早放弃没有希望的方法，从而腾出时间思考新的方法。与其用量纲分析的理论讨论使你厌烦，不如用例子说明这种方法。
量纲分析的思想是，单位——无论米、英尺、秒、品脱、两星期还是弗隆——都是人为的。宇宙并不在乎我们选择什么单位。有效的物理定律在任何单位制中都必须有相同形式。只有无量纲量——纯数——在每个单位制中相同，因此我们把方程写成对宇宙友好的无量纲形式。通常，这种形式只有一个。于是，不做任何工作，我们就解决了问题。
2.1 牛顿定律
例如，假设我们生活在牛顿时代。由于没有他的洞见，我们不知道力 、质量 和加速度 由 联系。我们也许从实验中只知道 、 与 有关系。问题是找出这个关系。三个变量之间最一般的关系为
其中 是我们必须找到的函数。
我们用量纲分析寻找 。量纲分析告诉我们，可以只用没有单位的量来重写一般形式 (2.1)。若幸运，这种形式只有一个：找到它，我们就得到一条自然定律。
2.1.1 寻找无量纲群
要去掉单位，首先须知道单位。在 cgs 单位制中，力的单位为 ；在一般的质量—长度—时间单位制中，单位为
引入有用记号： 代表质量单位， 代表长度单位， 代表时间单位。 代表所括变量 的单位；上下文会区分方括号的两种用法。类似地，加速度单位为
质量单位为
可以把这三个变量组合成没有单位的量——无量纲群。非法群的例子是 ，它有质量单位。合法的群包括
这些合法群——所有合法群——都是 的函数；它们也是 或 的函数。选择哪种基本形式无关紧要，所以选择 。此形式不含任意常数（ 的弱点），而任意常数在量纲分析中多余。它也使后续操作最熟悉。因此无量纲群的一般形式为
其中 是无量纲函数：它接收无量纲数，输出无量纲数。
图 2.1 随机函数 的零点。它们位于 4.894、5.61392、1.01346、1.9288、2.4041 和 4.12762，并以点标出。
2.1.2 寻找无量纲关系
利用 (2.6) 的最一般关系是
这就是 (2.1) 的无量纲版本。为确认没有走偏，检验 (2.7) 不会排除我们知道的正确答案 。若取 ，则 (2.7) 成为 ，即 。
我们已有进展。函数 有三个参数， 只有一个。1 还可进一步简化 (2.7)，因为只须找 的零点，无须找到 本身。图 2.1 画出一个无量纲函数；其六个过零点决定 的可能值。
哪个零点正确？有些问题允许多个零点；例如，氢原子中的电子可以有无穷多个能量。在这个问题中，只有一个零点可能——可由实验发现；量纲分析无法替我们判定。为纪念白金汉 定理（定理 2.1），把未知零点称为 。方程 (2.7) 的解为 ，即
结果就是牛顿第二定律。我们无需懂得多少物理便推导出它。[此例对牛顿不公平，仿佛他迟钝到没有立即看出 。不过我们把牛顿时代未知的大量知识视为理所当然。那时，力的概念——更不用说其单位——并未被清楚理解；牛顿的伟大成就正是通过 给出力的隐式定义。]
即使拥有额外知识，我们仍未赶上牛顿。量纲分析不能给出 的值；它不能，因为 这样的数没有单位，因而对只关心单位、不关心量值的量纲分析不可见。可用实验确定 ；会发现 。本书的大部分内容假定（或希望） 接近 1。我们常用量纲分析解决不能轻易确定 的问题，最后假装 。 越接近 1，所得估计越准确。
2.1.3 总结论证
提取本例使用的一般论证风格；许多数量级分析都用类似模式。开始前必须知道什么？必须知道哪些变量重要：、、。本例中变量由思想实验指定。在更现实的例子中，必须仔细思考来选择变量：选择变量是量纲分析最难的部分。亚里士多德认为力、质量和速度是相关变量；科学家花了近 2000 年才认识到相关的是加速度而非速度。
若漏掉必需变量，就会招来麻烦。例如，若只用 和 ，它们的任何组合都不无量纲；此失败提示漏掉一个必需变量——这里是质量。也会犯更微妙的错。假设正确认识到质量应是变量，却错误认为相关质量是地球质量 ，因为对引力有一种模糊预感。形成无量纲群 ，找到 。该方程按构造量纲正确，却在经验上荒谬。牛顿定律在太阳系遥远区域也准确，那里地球引力及 无关。必须进行物理思考、诉诸实验，并作幸运猜测，才能纳入所有相关变量。
但不想包括每个可能变量，因为无关变量会增加无量纲关系的可能性。例如，为保险起见若同时包括 和 ，就有两个无量纲群 和 。用这些群的最一般关系为
其中 是二元无量纲函数。现在须用物理知识限制 的形式。这里加入地球质量无关的知识，因为牛顿定律在遥远太阳系中成立；于是恢复先前推导的简单关系 ，但这次工作更多。第 2.3.2 节有另一个变量过多问题的例子，那里用流体力学知识简化所得关系。除练习外，不知道选择正确变量集的秘诀。
[我们草率地用同一字母 表示两个不同函数：在 (2.7) 中它是一元函数，在 (2.9) 中是二元函数。参数数目使两种用法不致混淆。为最清楚起见，应称为 和 。然而在量纲分析题中，常从三元函数开始，借物理知识化为二元函数，再用更多知识化为一元函数。草率记号因此方便；避免冗余下标，也无须发明 、、 等任意名字。]
选定变量后，找到唯一的无量纲群（除变换外）。一般关系 化为 。未知常数 可由实验或其他知识确定。图 2.2 展示论证步骤。
图 2.2 Pi 机器。经幸运猜测后，决定输入分组器的变量；连同单位一起输入。分组器寻找没有单位的组合（无量纲群）并输出它们（此处仅一群）。该群进入关系寻找器，后者从输入产生最一般的无量纲关系。简化器化简方程，给出答案 。
2.1.4 推广论证：白金汉 Pi 定理
量纲分析的艺术在于选择正确的相关变量集；计算机很难、甚至不可能完成此阶段。可编程的部分——找无量纲群——通常靠猜测完成。本例从三个相关变量开始，由两个基本单位 与 构成。变量似乎包含 、、 三种单位，但单个组合 足以代替 和 。类比地，设三个函数 为
这里 分别对应 、、， 分别对应 、、。变量 只以 的组合出现，故仅有两个独立变量 和 。在 例中，仅有两个独立单位 和 。
由 个变量、 个单位，找到 个无量纲群。此模式普遍存在，见定理 2.1。
定理 2.1（白金汉 Pi 定理） 由 个独立量纲构成的 个变量所描述的系统，也由 个独立无量纲群描述。
这些群也称为 变量。现在将此法用于有多个无量纲群的例子，论证会更复杂。
2.2 摆
下例是许多人在大学一年级物理习题中熟悉的。摆球悬于一根无质量绳端，从静止开始振荡（图 2.3）。振荡周期是多少？
2.2.1 寻找无量纲群
遵循第 2.1 节模式，先选相关变量。确保包括所求变量周期 ；常见错误是忘记目标变量，结果少一个变量。周期可能依赖初始角度，故包括 。决定还包括哪些变量时，想象自己是摆球。为什么会动？因有重力，所以 应在清单上。质量更大的球感受更大重力，因此包括 。2
由 四个变量及三个单位，只能形成一个无量纲群 。不能形成含 的群（试试看）；所以实际上只有三个变量和零个无量纲群。必定漏了变量。尚未提及的系统参数是绳长；也许它能救场，故加入清单。表 2.1 列出收集的变量。
表 2.1 可能决定摆振荡周期的变量。
（由先前经验，你知道 无关而 有关；将以此作为解答的合理性检验。）现在形成无量纲群。寻找它们需要手边有变量单位，故把变量列在表中。 个变量包含 个基本量纲：长度、质量、时间。白金汉 Pi 定理说可形成 个独立无量纲群。猜测是最容易的寻找方法。原变量 已无量纲（为什么角是无量纲的？），故从 开始。只有原变量 含质量单位，故无量纲群不能含 。[要无量纲，群须含另一个变量抵消 带来的质量单位；但 是本题唯一质量，因此 必须从它企图加入的任何群中自行抵消。3] 用 形成第二独立无量纲变量。[若不要求 个 变量独立，例如可选无用的一对 与 。] 的单位告诉我们构成方法：以 消去长度，以 消去时间，得 。两个群为
图 2.3 质量为 的摆球悬在长度 的无质量绳上。摆球从角度 处静止释放。
2.2.2 寻找无量纲关系
用 (2.11) 中各群的最一般关系为
其中 是无量纲函数。 是什么？图 2.4 概述寻找它所用的论证。
在第 2.1.2 节中，把 改写为 ，其中 是无量纲群，而 是实验上正确的未知常数—— 的零点。对更复杂的关系 (2.12)，可作同样变换。二参数函数 等价于由 索引的一参数函数族 （图 2.5）。一般形式 (2.12) 因而为
把 化为 后，这里把 化为
其中 是 的零点（图 2.6）。（当 仅有一个物理有效零点时此变换有效，为简单起见作此假定。）已从 中的藏身处提取 。也可写 ，并把 定义为 的零点；于是可提取 ：
按目标变量位置选择形式。它属于 时用 (2.14)，属于 时用 (2.15)；若同时属于两者，就须思考；若两者皆不属于，起始变量与无量纲群太少。
希望解出周期，它包含在 中，故用 (2.14)。用原变量写，(2.14) 为 ，即
所以 依赖 而不依赖 （承诺过的合理性检验）。不知道函数 。推导牛顿定律时，量纲分析无法确定常数（零参数函数）；这里无法确定一参数函数 。可由实验确定：以不同 释放摆并测量 ，则
不必为不同 （另一摆）或 （另一行星）重复实验，因为 是普适的。所有摆——长或短、地球或火星上——都遵循同一个 。
图 2.4 摆周期的量纲分析。思考后选择五个相关变量，输入分组器。它计算输入数（五）和输入中独立单位数（三），输出两个无量纲群。关系寻找器产生使用两群的最一般关系；简化器把关系变为更便于解出 的形式。
图 2.5 二参数函数 对不同 的图像。结果是一族函数 ；其过零点以点标出，并标以 值。
小振幅极限（）下，可简化 (2.16)：
其中 为常数。谈论 时，暗中假定 存在。量纲分析不作此保证；须诉诸物理。以下标度论证使极限存在看来可信。通过估计加速度与振荡距离来估计振荡时间。摆受力 （见图 2.3），加速度为 。对小 ，，故 。在时间 内移动距离 。完成一周期须移动距离 （忽略常数），所以
振幅 消去，这在物理上等价于 存在。甚至得到 的估计：
即 (2.18) 的物理推导。也可估计摆球典型速度，再由速度估计周期。最大势能为 ，高度变化 。最大动能等于最大势能，故最大速度由 给出。（该关系令势能与动能相等；这种方法称为平衡，详见第 3.1.2 节。）最大速度为 ，以它估计典型速度。完成周期时间为 ，与加速度方法相同。
把 称作常数 ，(2.18) 变为
无法用量纲分析算出 。它实际为 ，但必须解方程——超出本书范围——或实验确定，即计量一次摆动。以小角度，例如 ，释放摆并测周期 ；已知 ，用 (2.21) 求 。
图 2.6 的零点作为 的函数。函数 来自图 2.5。
2.3 流体中的阻力
每门大学一年级物理课都会解摆的微分方程以得到 (2.21)。课程通常继续到量纲分析无法竞争之处：微分方程解含有 值。因此摆问题没有显示量纲分析的益处。于是试试流体力学——一个以数学和物理复杂性著称的学科；Chandrasekhar 的著作 [3, 4] 展示数学能有多复杂。一如既往，研究例子：糖浆中下落的玻璃弹珠（第 2.3.2 节）以及被从飞机抛下的人（第 2.3.3 节）。计算终端速度，即物体下落足够久后达到的速度。例子说明流动的两个极端：渗流和湍流。
先求流体力学偏微分方程（不可压缩牛顿流体）：
这里 是流体速度场， 为流体密度， 为运动黏度， 为压力。必须解六个耦合的非线性偏微分方程，并求 时弹珠速度。这是痛苦任务。
别担心——不会解这些方程。写出来是要吓你使用量纲分析，表明它比解方程容易。
用量纲分析找终端速度 。可用通常方法：选择含 的变量组，形成无量纲群，再解速度。这种直接方法给出太多无量纲群；最后还得加入物理知识来简化无量纲关系。相反，在开始时用物理知识及早简化推导。早简化可省力；晚简化会带着最终丢弃的行李。去加勒比度假为何带雪鞋？
“终端速度”中的“终端”暗示决定速度的物理：速度恒定，只有弹珠净力为零才可能。什么力作用于弹珠？重力使它加速，阻力使它减速。因此找阻力和重力，再令二者相等。已把终端速度问题分为两个简单问题（分而治之）。重力为 （或接近它，稍后可见），其中 为弹珠质量。阻力是什么？
图 2.7 液体中下落的球。其终端速度为 。
2.3.1 阻力的量纲分析
用量纲分析找阻力 。第一步选择相关变量，先包括所求变量 。球的哪些特性与阻力有关？阻力不知道球内部是什么。把流体想成实现流体动力学定律的巨大计算机；它如何知道球或人的密度？它看不进物体内部。对阻力而言， 是球穿过大气时仅有的相关属性；人表面下的东西不影响流动。4 因此计算机只知 也能决定流动（若有极大算力）。所以 无关。流体的哪些特性相关？流体超级计算机须知流体密度，以决定物体带动的流体块运动多快，故包括 。
黏度呢？黏度衡量流体抹平流动中速度差异的倾向。多车道高速路车流中可见类似物：一车道快于另一车道时，驾驶员从慢道换至快道，最终使快道变慢；驾驶员的局部决定减小速度梯度。类似地，流体中分子运动把速度（其实是动量）从快速流区输送至慢速流区，减小区域间速度差。更稠、更黏的流体大概比稀流体造成更大阻力，故包括黏度。
流体力学家5 定义两种黏度：动力黏度 和运动黏度 ，关系为 。《Life in Moving Fluids》[18，第 23–25 页] 详细讨论两者。第 4.5 节通过考察黏度的分子起源估计气体黏度。分析阻力只须知道黏滞力正比于黏度。该用哪种？动力黏度把 藏在 乘积中；含 和 的方程看起来比实际更不无量纲，因为 没有伙伴。因此用运动黏度 。
表 2.2 决定阻力的变量。
表 2.2 列出收集的变量。阻力不依赖 或 ；它比终端速度（确实依赖 ）更易估计。五个变量由三个基本量纲构成，寻找两个无量纲群。以分而治之找到一群。清单已有速度 ；若能配制另一有速度单位的量 ，即可形成 。 几乎可用，多余长度由 消去：。无量纲群为
它是雷诺数 ，是流速的无量纲度量。[第 2.3.3 节给出更详细的物理解释。] 单独速度不能区分快慢流，因为 不无量纲（见第 1.1.1 节对大货物的讨论）。若听到某量小、快、大或任何类似说法，第一反应应是：“与什么相比？”要区分快慢流，须用与 有关的无量纲量——雷诺数。它比较 与 。低 表示慢的黏滞流（冷蜂蜜从罐中渗出）；高值表示湍流（喷气机以每小时 600 英里飞行）。再次推荐优秀的《Life in Moving Fluids》[18]，其中有更多流体力学无量纲比的细节。第 5.2.1.2 节讨论快艇时会引入另一无量纲比——弗劳德数。
第二无量纲群是什么？ 未出现于 ，故须是 的一部分（否则如何解 ？）。不在一次幸运猜测中想出无量纲群，而是构造两个同单位量，相除得到无量纲量。注意 是能量。构造另一能量 ，再形成比 。能量含一个质量幂；除 外唯一含质量的变量是 ，故 含一个 幂。怎样由 造能量？从质量 开始。动能为 ，故单位为 。[公式是确定量单位的可靠简单方法。即使公式是近似的—— 只在速度远小于光速时有效——仍给出正确单位。] 第二能量为
群 是两能量的比：
最一般关系为 。希望解 ，它在 中，故用 (2.14)：。用原变量，阻力为
现在卡住了；仅靠量纲分析不能再前进。要知道 形式，把问题特化到极端条件：湍流高速流（）或黏滞低速流（）。
2.3.2 黏滞极限
先分析低速极限：糖浆中下落的弹珠。你也许会问弹珠多久会落进糖浆，何必研究。第一问简答为：“不常。”不过决定糖浆弹珠行为的同一物理也决定空气中雾滴、水中游动的细菌、或密立根油滴实验中油滴的行为。研究弹珠问题，因为它说明物理原理，也因为可用家庭实验检验估计。
在缓慢黏滞流中，阻力来自正比于 的黏滞力，故 。黏度恰好出现一次：在 的自变量中和分母中。为使 翻至分子，取 。[使用 是为避免反复写 常数；它表示两边单位相同（此处皆无），但可能相差无量纲常数。] 用此 ，(2.26) 的阻力成为
其中 为无量纲常数。
遗憾的是，无法用量纲分析算出神奇 因子。须请流体力学家做计算它的杂乱工作；但可希望她负担轻，因为除了一个数外已做出解。Stokes 首先推导出 ，发现（球形时）。代入后 (2.27) 成为
暂停检查其合理性。更大或更快的弹珠应受更大阻力；更密或更黏的流体也应产生更多阻力。式 (2.28) 通过这些检验。
可通过物理解释作更详细检验。论证风格类似第 2.2.2 节为摆证明 的论证。黏滞极限中，阻力仅由黏度造成，即阻力为黏滞力。估计黏滞力须引入更多黏度知识，也在球参考系中工作。黏度是无滑移边界条件的结果：在球表面流体相对球静止；远离球时，流体不知道球存在，相对球以速度 运动。黏度把动量从球输送至远处流体，从而减小速度差并使球减速。动量输送产生应力 （约为单位面积力），它正比于动力黏度和速度梯度：
其中 是距球心距离的流体速度。速度梯度 是复杂对象——张量。可假装它是普通数（标量），用两个数据点近似其大小：球附近 ，远处 。多远算远？等价地，远是相对什么长度？自然比较长度是球半径 。因此说 。也可用 或 ；精确刻画“远”的常数不重要，反正将忽略它。 在长度 上变化 ，故梯度近似为 。此结果来自一般数量级经验法则：
此法则称为数量级微分。[一种记忆方式是写成
消去 后即得。] 因此黏滞应力 。黏滞力为应力乘其作用表面积：
此结果与量纲分析所得估计 (2.27) 一致。物理论证始终忽略常数，故无法证明 (2.28) 中 因子。
(2.28) 中神奇 来自诚实物理，即求解 Navier–Stokes 方程 (2.22)。本书想教你避免痛苦，所以不解这类方程。偶尔引用诚实物理给出的因子，以显示数量级近似多准确（或多草率）。诚实物理因子通常为 1 的数量级。这种数适合神经硬件：容易记忆和使用。若知道数量级推导且记住此数，就能不解难方程重建精确结果。
回到原问题：找终端速度，通过令阻力与重力平衡来估计。重力为 ， 是弹珠质量。不用 而用弹珠密度 ；需要时可从 恢复质量。偏爱密度，因为阻力含密度 。因此重力写成
其中忽略 因子。令 (2.27) 阻力等于重力：
终端速度为
检查正确变量是否在楼上（分子）和楼下（分母）可增加信心。密弹珠应比疏弹珠下落更快，故 在楼上。重力使弹珠加速， 也应在楼上。黏度使其减速， 应在楼下。终端速度 (2.35) 通过测试，故更有信心（虽未检验指数或 的位置）。
结果正确，但忽略一个重要效应：浮力。等价地，忘掉一个无量纲群 。浮力减小弹珠有效重量，也就是减小 的有效值。若 ，有效 为 0；若 ，重力保留全部效应。两极限之间，有效 随 线性变化。为何必须线性？重力使流体压力随深度增加，此增加导致浮力（图 2.8）。因此重力负责浮力；重力和浮力皆正比于 。有效 应随 线性变化，故作变换
重力 (2.33) 成为
终端速度成为
图 2.8 重力造成浮力。由于重力，浸在流体中的球底部压力大于顶部压力，结果产生向上的浮力。
若从阻力中神奇的 开始，带上重力 (2.33) 应有的 ，并全程保留比例常数，就会发现终端速度 (2.38) 缺少的比例常数为 。
用 (2.38) 尝试家庭实验以测定糖浆黏度。将半径 的玻璃弹珠落入一管糖浆，测得 。带神奇 因子，黏度为
玻璃密度为 ，糖浆密度为 。代入所有数，黏度估计为
许多表列 ，对此预测为 （因 ）。网络搜索糖浆黏度，得到去离子糖浆为 ，普通糖浆为 。从杂货店买的糖浆大概只是普通糖浆，因此估计约差 2 倍。因子不大说明模型已包括大部分相关物理。（另一误差来源是管壁效应；数量级分析假定管无限宽，弹珠感觉不到管壁。）
推导阻力 (2.28) 时假定阻力正比于 ——慢流或高黏液体中确实如此。流动够慢吗？(2.23) 定义的雷诺数是流速的正确量度，检查 是否小：
它远小于 1。流动在渗，因此假设自洽。
2.3.3 湍流极限
现在计算另一流动极端的阻力：高速或湍流。估计从高空飞机抛下的人的终端速度。飞机多高？高到人达到终端速度。你有理由质疑人是否常被从飞机抛下；幸好不会。然而结果是通用的。例如，即使儿童从椅子上起身，周围气流也是高速流。设儿童宽 ，以 起身，则
远大于 1，流动湍流。成人、汽车等大物体即使仅以 运动也产生湍流。多数流体流动——大雨滴在空气中落下、船在水中航行、自行车手在空气中竞速——都是湍流。
现在把第 2.3.1 节结果特化到高速流。先说谎：假定人是球。这是便利近似。即使日常中人是圆柱形，被从飞机抛下的人可能因理智的恐惧反射蜷成胎儿姿势，从而证明近似合理。高速（更精确说，高 ）时流动湍流。只影响慢流、却不影响湍流剪切和旋转的黏度变得无关。只知阻力几乎与黏度无关，能理解多少湍流阻力？黏度只出现在 中；若黏度消失， 也消失。这一论证略显轻率。更精确地说，从表 2.2 移除 ，再找无量纲群。四个变量可找到一个无量纲群，即弹珠例中的 。
为何高速时阻力与 无关？等价地，为何可从变量清单移除 而仍得到正确阻力形式？答案并不明显。(2.23) 中把 构造为 比，提供部分答案。自然长度为 ，所以由每个速度可构成时间量：
注意 。 是流体绕球运动的时间（忽略常数）。如第 4.5 节所述，运动黏度是动量扩散系数，动量扩散距离 的时间为 ，故 是动量绕球扩散的时间。若 ，即 ，动量在流体绕球前就扩散。若有时间，动量扩散会均衡速度；低 Re 极限中确实如此，防止前方流动和后方流动截然不同，没有湍流。另一极限 或 中，动量扩散被流体运动彻底击败，流体可为所欲为：它湍流。流体运动击败动量扩散的程度不影响流动；流动已不受黏度约束。（这话是谎言，但相当准确。）
剩下的无量纲群为
最一般关系为 ，故 ，且
我们算的是球的阻力；其他形状呢？为使阻力可推广至复杂形状，用物体横截面积表示——这里 ，故 。比例常数称为 ，其中 是阻力系数。阻力系数是阻力的无量纲度量，依赖物体形状（其流线型程度）。表 2.3 列出几种形状的 。（阻力系数正比于函数 。）有阻力系数时，阻力为
表 2.3 高速流（）中物体的近似阻力系数 。圆柱垂直其轴运动；平板垂直其表面运动。
多数用途可取 。阻力系数随 略变，因此说高 Re 时阻力独立于黏度（它出现在雷诺数中）是稍许说谎。但对大多数数量级用途足够准确。
已有阻力表达式，估计重力所需工作少得多。包括浮力的重力不在乎流动是否湍流，故黏滞流结果 (2.37) 在此适用，为方便重述：
令 等于阻力 (2.45)，找终端速度：
终端速度为
暂停检查合理性，逐一考虑变量。：在更密流体中终端速度更小（试试在游泳池跑步），故在分母。：想象人在重力强于地球的行星坠落。6 阻力不依赖 ，所以重力在拔河中获胜， 增大，故 在分子。：想象密度为正常两倍、尺寸正常的人，重力加倍；如第 2.3.1 节“流体是计算机”论证所示，阻力不变，故 在 (2.49) 分子。：确定半径位置需更微妙论证，因为改变 同时改变重力和阻力。重力按 增，阻力按 增； 更大时重力胜出，重力更大表示 更大，故 在分子。：高速时黏度不影响阻力，故不应出现在分子或分母。速度 (2.49) 通过所有检验。
终于可计算（非自愿）跳伞者的终端速度。假定他蜷成胎儿姿势，近似为球，。人主要是水，故 。空气密度 ，故 ，浮力不重要；在 (2.49) 中可忽略 内的 。代入：
即 （）。
此计算假定 。检验该假定。无须从头算 Re，因为 (2.42) 已知儿童（）以 起身，产生 的湍流。跳伞者流动快 100 倍、体型大 2 倍，显然湍流。由 (2.42) 对雷诺数作标度：
远大于 1，流动极其湍流。
现在已找终端速度，提取解题模式。遵循顺序是：假定、推导、计算、检验（图 2.9）。此顺序比通常的“推导、计算”强大。若不知道流动快慢，不能推导 的封闭表达式（这种推导大概超出现今对湍流的理解）。被这座数学珠穆朗玛峰挡住，就会困在推导框，永远得不到 ，也永远不会意识到 Re 很大（假定框），而这正是可以估计 的假定。解决糖浆终端速度时也用了同样正确顺序；图 2.10 显示逻辑多么相似。
图 2.9 湍流中终端速度的正确解题顺序。从假定框开始，简化求解程序。第 1 步：在该假定下估计阻力（推导框）。第 2 步：由阻力估计终端速度（计算框）。第 3 步：由终端速度估计雷诺数（检验框）。第 4 步：闭合循环，验证起始条件。注意：为紧凑起见，终端速度公式忽略通常很小的浮力效应。
2.3.4 合并两个极限的解
在两种极限计算了阻力，比较结果看能否合并。把黏滞流解 (2.28) 用雷诺数和横截面积写成
已证明 ，神奇常数 来自我们未做的诚实物理。7 所以
把此黏滞阻力与湍流阻力 (2.46) 比较。若代入 ，(2.46) 就成为 (2.53)。所以高、低速流均可用阻力公式 (2.46)，只须让 随 Re 变化。高 Re 时已引用 。若低 Re 近似对所有雷诺数有效， 在 附近穿过 ，此时预期高 Re 近似接管。交点是低、高速流转换的合理估计。实验数据把交叉点放在更接近 、 处。若无量纲变量如 Re 接近 1，计算会变困难。依赖某量极大或极小的近似不再有效；所有量大致相同时，无法从方程去掉许多项。此时要得到结果，必须做诚实工作：数值或解析求解非线性方程 (2.22)。
图 2.10 黏滞流中终端速度的正确解题顺序。注意它与图 2.9 的相似性。
2.4 你学到了什么
每个有效物理方程都可写成没有单位的形式。寻找这种形式时遵循：
- 凭魔法、直觉或运气写下物理相关变量。为说明起见，设有 个。
- 确定每个变量单位，数出这些变量包含多少独立量纲，称为 。通常长度、质量和时间已足够，所以 。
- 通过摆弄或灵感猜测，找出变量的 个独立无量纲组合。这些组合就是无量纲群，或 Pi 变量——以白金汉 Pi 定理命名。
- 写下使用这些群的最一般关系，然后尝试用物理论证消去无量纲群或限制关系形式。
- 用物理论证，通过消去无量纲群或以其他方式约束关系形式，简化无量纲关系。
即使流体力学，以无量纲形式也简单。雷诺数是流速的无量纲度量；它区分黏滞流和湍流，并比较动量输送时间和流体输送时间。
解困难问题——如计算阻力——时，以假定极端情况来简化：假定一个或多个无量纲变量近乎零或近乎 。
利用解答，检验你的假定！
接下来两章将把这些不诚实方法与物理推理结合，用来估计材料的性质。