第 3 章：材料 I

3 材料 I

为什么地球上没有 100 km 高的山（第 3.3.2 节）？为什么感恩节火鸡必须烤上一整个上午（例 4.2）？白矮星有多大（第 3.4 节）？这些问题的答案取决于材料的机械和热学性质。我们用前几章的技术估计这些性质，并引入一种新技术：平衡。本章研究材料的机械性质：密度、强度和表面张力；第 4 章研究热学性质。

我们对材料性质的估计依赖原子理论。用费曼的话说：

如果在某场大灾难中，所有科学知识都被毁灭，而只能向下一代生物传下一句话，哪句话用最少的词包含最多的信息？我相信是原子假说（或原子事实，随你怎样称呼）：万物都由原子构成——这些小粒子永不停歇地运动，彼此相隔稍远时相互吸引，被挤进彼此之中时相互排斥。这一句话中，蕴含着关于世界的大量信息……[8, p. 1-2]

原子理论最早由德谟克利特提出。科学家兼哲学家伯特兰·罗素在《西方哲学史》[16] 中，以机智、同情和洞见叙述早期希腊科学与哲学。德谟克利特对原子性质无从多说。有了现代经典力学和量子力学知识，我们能走得更远。先确定原子有多大；理解决定原子大小的力后，再把理解推广到分子：分而治之。

图 3.1　氢。质子（“+”）把电子囚禁起来。牢笼半径为玻尔半径 。

3.1 尺寸

我们从最简单原子氢的简单图像开始——总要画一个简单图像——见图 3.1。轨道半径是多少？

3.1.1 量纲分析

先用量纲分析估计半径。考虑什么物理决定氢的性质，列出相关变量。静电力使电子保持在轨道上，电子电荷 必不可少。我们用 而非 ，因为在 cgs 单位中 有熟悉的量纲 。若用 ，就须考虑怎样把 esu 与熟悉量纲结合。[在 mks 单位中，还须引入真空介电常数 。静电学的符号结果在 cgs 中常比在 mks 中易懂；数值估算在 mks 中常更简单，因为表格列的是欧姆、库仑而不是静欧姆或 esu。若既要思考又要计算，应熟悉两种体系。] 电子质量 决定静电力产生的加速度，因此也须包括。质子质量 也可能相关。从 四变量可构造一个无量纲群：

它不含 ，我们卡住了。找不到合适无量纲群，说明漏掉了决定 的物理。

图 3.1 的氢图像不可能是经典的，这给出线索。作圆周运动的经典电子会辐射、失能并螺旋落入被质子吞没的厄运；经典原子不可能存在。幸好量子力学来救场，尽管它是庞大可怕的学科。多亏量纲分析，不必理解量子力学也能计算其结果。对量纲分析而言，量子力学的全部内容包含在另一自然常数 中，其值为 。加入 后得到表 3.1。

变量	单位	说明
		半径
		电荷
		量子力学
		质子质量
		电子质量

表 3.1　决定氢尺寸的变量。 是 的简写。

多一个变量便多一个无量纲群。若该群不含 就无计可施，因此假设它含有 。怎样从其余四变量构造长度来抵消 的长度？分而治之。因 是 ，先由 构造能量（也可用 ，但同时用 不增加单位），再用它抵消 中能量。 是速度，故 是能量；于是构造长度

即 。新的无量纲群为

另一群为 ，所以 ，等价地

质子远重于电子，因此夸张地令 ；我们用夸张来简化。若 在 有极限，则

其中常数 。这是重要结果，第 3.1.2 节将交叉检验它。

先讨论假定 存在是否有效。若从 而非 构造 ，，没有有限极限。除逐一尝试或碰巧走运外，如何选择质量？没有万全程序，但有经验规则。第一，选择重叠最少的无量纲群。定义 时可用 代替 ；那会使两个质量都在两个群中出现。我们选 放在 、 放在 ，原始量的重叠较少。考察 的极限通常希望消掉一个无量纲群，重叠越少越可能成功。

第二，决定哪个变量可能趋零，并将它隔离到一个无量纲群中。这里质子与电子质量相差约 2000 倍，立刻可想象差异更显著的世界，例如 ，或 。这些不合理；若可能，我们只改变一个量，从而对真实世界少说谎。在想象世界中，应减小 还是增大 ？用物理推理：质子和电子动量大小同为 、方向相反，典型动能为 。质量在分母，重粒子贡献远小于轻粒子。因此想象 增大；它只消除了总能量中的次要贡献。这表明在 、 固定时氢有物理极限，故 在零处有极限。

若没隔离 ，例如取 和 ，则

的行为很糟： 时前因子趋零，所以 必须趋无穷。已知 在该极限与 无关，故 才能抵消前面的 。一开始隔离 ，便可直接丢弃 ，无需这段曲折论证。

3.1.2 物理意义

第二次计算 时，以物理推理代替量纲分析，并得到 (3.5) 的解释。求氢最低能量（基态）轨道半径。能量是动能与势能之和：电子运动给出动能，静电吸引给出势能。

动能从何而来？电子并非以经典方式绕行，否则会辐射能量并螺旋进核。按量子力学，质子把电子限制在尺度 的区域中。¹ 不确定性原理给出 ；在氢中 （图 3.2），故 ，电子动能为

这叫禁闭能或不确定性能量，书中将多次使用，下一次在第 3.4 节。经典势能为

这里 表示电子并不精确位于半径 ，而是其典型或特征距离为 。总能量为

两种能量竞争。小 时因 动能取胜；大 时势能取胜，因为它趋零较慢。中间必有能量最小值：小 时 为负，大 时为正，之间必为零。用无量纲形式易于估计位置。由 (3.3) 的长度 ，定义 ，又 是能量，定义 ，则

微积分给出 ；数量级极小化则在竞争项大致相等时取极小（图 3.3），令 ，得 。故 ，正是玻尔半径；此例中定义的粗略性恰抵消了数量级极小化的误差。

图 3.2　数量级氢。以具有相同特征宽度和高度的箱形势（实线）代替库仑势（虚线）；此矩形技巧见第 1.1.4 节。电子总能量（粗线）为势能 和动能 之和。

为说明方法，考虑一般形式

它抓住 (3.9) 的关键：两部分竞争。由 ，有

故

数量级法令 ，不能导出 。两种估计之比为

当 时此比小于 1；数量级法低估极小值位置，且（交换 ）高估极大值位置。

非极性原子或分子的势可近似取 ：

这叫 Lennard—Jones 势。氦、氙等原子无永久偶极矩，但核周电荷分布、因而偶极矩会涨落；一个原子的涨落诱导另一原子发生反向涨落，两诱导偶极矩方向相反，故无论涨落符号如何都相吸。说明吸引项的 ：偶极矩 的偶极子在场 中受力为

很小时，。若 ，则 ，。另一原子场使此原子极化，，其中 为极化率，故 。偶极子产生的场 ，所以 ，即 。 项表示短程斥力，是对实验数据的拟合，不能由这些简单论证估计。

对 Lennard—Jones 势，，数量级 仅差 。再如最小化 ：真实极小值为 （ 的解），数量级法预测 （ 的解）。即使两项非幂律，数量级法仍给出合理答案。[要理解其适用范围，可构造使其严重不准确的函数。]

图 3.3　数量级微积分：使标度能量 相对标度键长 最小。标度能量是势能与动能之和。在 时二者绝对值相等，故数量级极小值在 1；严格微积分给出 2。

回到玻尔半径。即使极小化没有如此幸运，也不必动用微积分：动能估计使用粗略的 ，而正确式为 ；又粗略取 、，后式不仅漏掉分母的 2，也把均方根动量的粗略估计当作真实动量。作出这些近似后，再用微分微积分这把大象枪毫无意义。数量级法与推导能量所用近似一样准确。

把竞争项相等的方法称为平衡：我们平衡动能与势能，得到 。自然界本可不友善，使二者相差 10 或 100 倍；但它很友善，二者相等至一个接近 1 的常数，即数量级为 1。这种粗略相等在许多例子中出现；若两个能量（或一般地同单位的量）相等，常可得到合理答案。当它们是势能和动能时，第 3.2.1 节的维里定理会防止大误差。

3.1.3 数值计算

现已用两种方法得到

代入数值。看似须查 ，其实不必；可用三个有用的基本常数组合。前两个以 eV 为能量单位，数值很整：

第三个组合是

这是精细结构常数，即静电力强度的无量纲度量。 等无量纲数值得记住，因为所有单位制下数值相同。(3.17) 的 在分母，乘 造出 ：

再乘 ，约去一组 ，得

逐步写出是为区分常配合的技巧：插入 ，再插 制造数值整齐的 。代入易记数字：

知道氢大小后可理解复杂原子。氢有一个电子、一个能壳层；周期表第二、三行分别有二、三层，地球最丰富的氧、碳、硅来自其中。经验法则： 时， 层原子直径为 ； 时直径仍约 ，因为额外核电荷把电子拉近，补偿了壳层增多。

考察原子序数 的原子，含 个质子和 个电子。最外电子处于 个质子及其余 个电子产生的势中。电荷分布不易算，故假定其他电子均在最外电子内侧运行。这很粗糙，既忽略泡利不相容原理²，也不能准确表示最外壳有多个电子的原子；但简单且有些真理。最外电子看见有效电荷为 的原子核： 个质子与 个电子几乎抵消。它等同于绕单个质子运行，即氢。因此最外电荷环境与 无关，每个大 原子大小都像氢。结论前半合理——大 原子尺寸相近；后半不对——尺寸并非氢的尺寸，因假设过于极端且忽略泡利原理。保留合理部分，取典型原子直径 。

图 3.4　固体或液体中的原子堆积。为清楚起见只画物质的二维切片。在这幅粗略图像中，每个原子占据边长 的立方体，即体积约 或 。

3.1.4 密度

由原子尺寸可估密度。原子是正核和负电荷云；固体或液体中的原子被挤在一起。电子云重叠时斥力很大，限制原子靠近；相距远于玻尔半径时，两原子几乎不相互作用。两极之间有最小能量距离 ，即电子云直径，故 也是固、液体典型原子间距。令原子质量数为 ，约为核中质子、中子数；虽称质量， 无量纲。每原子占边长 的立方体，质量为 ，故

或用 ，

表 3.2 将估计和事实比较。它解释了为何多数密度在 至 ：日常元素质量数多在 15 至 150。甚至把非元素水放入，估计也准确到 20%。³

元素	估计	实际
Li	0.47	0.54
	1.2	1.0
Si	1.87	2.4
Fe	3.73	7.9
Hg	13.4	13.5
Au	13.1	19.3
U	15.9	18.7

表 3.2　固体及液体的实际和估计密度（）。估计来自 (3.25)。

例 3.1　装满书的小箱有多重？　书大多是纸；第 1.1.1 节说明纸密度与水相同，。美国标准书箱是小号 UPS 箱，体积 ，故质量 ，约等于一个人。这些箱子如此沉重且不会更大，便不足为奇。

3.2 能量

材料的数量级图景一部分是原子间距（键尺寸），另一部分是原子间的力或相互作用能（键能）。依第 3.1 节的模式，先估氢结合能，再推广到常见材料。

3.2.1 氢的结合能

氢的结合能是把电子从质子无限拉远所需的能量；较复杂原子中是移走所有电子所需能量。先估氢势能。电子和质子相隔玻尔半径时，

结合能为 。维里定理说在 势中（氢取 ）

故 ，结合能为

乘 以造出 ：

幸运的是近似误差抵消，严格物理因子为 1；(3.29) 是氢正确基态能量（忽略自旋等相对论效应）。也可写为 ，即速度 电子的动能；精细结构常数是在原子单位中电子的速度，其中电荷以 、长度以 、速度以 为单位。以后需用的能量换算为

以及

3.2.2 共价键和离子键能

共价键和离子键由电子、质子间吸引形成；氢是此相互作用的粗略模型。其主要缺陷是氢中电子—质子距离远小于多数材料中的距离：多数材料 ，而 。对由单极静电吸引产生结合能的共价、离子键，结合能比 小 6 倍，即 ；因 且静电能 。[标度 比从头计算 更直接，也不会把 等无关信息塞进推导或思考。] 含碳、氧、氢的键有 ，预期 ，表中证实此点。范德瓦耳斯键远弱于共价或离子键，这符合 Lennard—Jones 势 (3.15) 中 的高负幂。

内聚能是打断物体中最弱类型键所需能量。水中是把一个水分子由液体移至蒸气的能量；氢中是打断电子—质子键的能量，即 (3.29)。用 表示内聚能。其典型大小说明 eV 是材料物理方便的单位：强键物质的内聚能以 eV 计为数量级 1。

键	能量 (eV)	键	能量 (eV)
C—C	6.3	H—H	4.5
Na—Cl	4.3	H—O	4.4
Fe—O	4.0	C—H	3.5
Si—Si	3.3	Hg—S	2.2
Cd—S	2.1	Zn—S	2.1

表 3.3　近似共价和离子键能。来源：CRC《化学与物理手册》[13, pp. 9-123—9-128]。

3.3 弹性性质

白矮星或雨滴尺寸、声速等量，可用我们对原子尺寸、能量的知识和已发展的方法估计。先研究声速，它说明一个常用方法：用弹簧近似。

3.3.1 声速

压强为 的气体中，声速约为

其中 是压强， 是密度。我们假装气体理想，虽有理论难题：声波须分子碰撞传播，而理想气体分子不碰撞。更详细分析表明，频率 的声波能传播，只要每个分子碰撞频率 。空气多可当作理想气体，碰撞频率约 ，足够覆盖我们关心的大多数声波；偏离理想气体的微小程度已足以使声音成为可能，故不担心此不相容。

(3.33) 是 唯一量纲正确的组合。固、液体预期有类似关系，但须以类似压强的量替代。压强是单位面积力或单位体积能量，即能量密度。已有原子间体积 和内聚能 ，故压强类似物可为

于是

其中 是一原子质量。 是弹性模量，类似弹簧常数但更有用。想象一根受力拉伸的导线（图 3.5），。同材料、面积为 的较粗线有 ；面积相同、长为 的线弹簧常数为 。弹簧常数不只由材料决定，还依赖长度、面积；弹性模量消除此问题。

宏观上， 与面积无关， 与长度无关，故 与二者均无关。将其代入 ：

或

其中 为应力（或压强）， 为弹性模量， 为长度分数变化即应变；应变是无量纲伸长量。很快将说明

是 (3.34) 的宏观等价式。

图 3.5　受力拉伸的导线。力 使横截面积 、松弛长度 的导线伸长 。

也可把原子键看作弹簧。设一列原子由复杂的静电力、动能平衡形成的键连接；以图 3.6 的简单弹簧代替。原子 1 受瞬时踢击右移 后，原子 2 何时也移动 ？原先原子在平衡位置；原子 1 移后，原子 2 受力 ，加速度 ，时间 后走过 。此距离达 时 ，故 。估 时用 ，等价于假定键长加倍时断裂（图 3.7）；于是 ，与 (3.35) 一致。

图 3.6　一小块固体。质量 的原子由以弹簧常数 的理想弹簧近似的键连接。 时原子 1 被踢一下，移动 （第二行）；原子 2 何时跟随？

图 3.7　键能与间距。两原子接近时电子斥力给出很大的正能；分开时静电吸引减弱（负值绝对值变小）。中间是能量最低的妥协距离 。在其附近拟合抛物线，即假定键是弹簧（第 5.1 节讨论物理过程近乎普适的弹簧建模）。

数键弹簧可证明 (3.38)。图 3.5 的线是一束细丝，每根细丝是一列原子。每根细丝有 个串联弹簧，故其常数相对单键减少 ；导线有 根细丝，这一因子增加线的常数。因此 。代入 (3.38) 得 ；再用 ，得 ，即 (3.34)。

典型模量为

这对许多材料合理（表 3.4）。典型固体原子质量约 40，依 (3.25) ，故

物质
钢	20
Cu	11
冰（）	0.9
Al	7.9
Pb	1.8
C（金刚石）	44
C（石墨，垂直于层面）	3.5
C（石墨，平行于层面）	100
白蜡	12
玻璃

表 3.4　弹性模量。列出各物质的杨氏模量，它是剪切模量和体积模量的组合。石墨的 强烈依赖方向，源于层状结构；若垂直层面模量与平行层面一样高，铅笔芯就会是金刚石笔尖。来源：Smithsonian Physical Tables [9]。

物质	声速 (km/s)
玻璃	5.5
钢	5.0
砖	3.7
松木	3.3
水	1.5
Hg	1.5
Cu	3.6
软木	0.5
花岗岩	4.0

表 3.5　室温声速。通用估计 是有用经验法则，但低估金属和玻璃等刚硬物质、高估软木等柔软物质。来源：Smithsonian Physical Tables [9, p. 306]。

估计相当准确（表 3.5），表明已包含重要物理。

3.3.2 屈服强度

材料多强？打断无缺陷的完美材料（如金刚石或碳纤维）须施加应力 。大多数材料在应力达到 前便断裂，因为晶体缺陷使应力集中，局部应力可达 ，即使整体应力远小于 。典型断裂（或屈服）应力为 至 。这个无量纲因子即屈服或断裂应变 ，列于表 3.6。典型屈服应力为 。现将这些估计用于登山。

3.3.2.1 地球上的山高

攀登一颗行星最高山须多少能量？先定山高（图 3.8）。岩石强度限制其高度。顶部圆锥块质量为 ，产生 ，所致应力为

应变为

岩石 。当 ，岩石屈服，山缩小直至应变低于 。故地球最高山为

典型岩石 ，所以

忽略许多数值因子，故珠穆朗玛峰等 的山超过估计并不奇怪（也许它由花岗岩等特别坚硬岩石构成）。

图 3.8　山。近似山为坡度 的圆锥。阴影顶部块质量为 ，挤压带剖面（浅阴影环）的斜线块；山过高时，挤压力超过山岩可承受的强度。

物质
钢	0.005
铜	0.002
铝	0.001
岩石	0.001

表 3.6　近似断裂应变 。

3.3.2.2 其他行星上的山高

与地球最高山相比，攀登火星、水星或谷神星最高山是否更难？假定所有天体由同类岩石构成。到山顶能量为 ， 为攀登者质量。典型攀登者 ，故

即一块巧克力的能量（以完美效率计）。能量与 无关；人类效率并不完美，没人能靠一块甚至十块巧克力爬珠峰。

爬山能量不依赖 ，最大高度却依赖。第 1.2.1 节得 ，故 ，山的相对高度 。地球 ，所以 。半径 （约 200 km）的小行星，相对高度约 1，估计相当准确：半径约 200 km 的小行星拥有与自身大小相当的山，看起来扁球状。第 3.4 节将估白矮星山高。

3.3.3 表面张力

水滴呈球形，因为固定体积的球表面积最小。数学解释隐藏了物理问题：水滴为何最小化面积？因为水有表面张力，即创造单位新表面所需能量（单位为能量/面积）。在固体图像中，内部每个原子与 6 个邻居成键，表面原子只有 5 个。面积 的表面含 个原子；创造该表面须每原子断一键。内聚能是断开全部 6 键的能量，为避免每键计两次，，不是除以 6。表面能 ，故表面张力为

第 4.2 节将由汽化热估内聚能。水 ，用 ：

基本模型正确，但此估计大 4 倍，部分因固体六邻居图像粗糙。

表面张力决定雨滴大小。下落雨滴受试图把它撕成小滴的阻力；许多小雨滴要付出额外表面能，抵抗撕裂。二者间有合适中间尺寸，通过平衡表面张力（作为力 ）和阻力 （图 3.9）估计。

表面张力是能量/面积，也是力/长度。要得力，乘唯一长度——周长，约为 ，故 。雨滴终端速度恒定，阻力等于重量：，其中 是滴质量。令两力相等，，得

水的 ，所以

终端速度由高速结果 (2.49) 给出：

因 ，，即慢速驾车或快速短跑速度。这看来合理：雨暴中缓慢驾车时，雨滴约以 角打来。

图 3.9　半径 、密度 的下落雨滴，已达终端速度 。表面张力（相向箭头）沿周长把两半雨滴束缚在一起；阴影区显示雨滴横截面。

3.4 应用于白矮星

白矮星是小而密的恒星，压强足以完全电离原子。它们是死亡恒星，内部没有核聚变。将估算方法用于这奇异物态，以显示原理适用广泛。

3.4.1 白矮星尺寸

白矮星有多大？其中原子处于电子海中。什么阻止引力把白矮星压到零尺寸？类似地，什么阻止静电力把氢压到零半径？氢和白矮星中都是禁闭能阻止坍缩。对白矮星，可平衡引力能和禁闭能来求最小能量半径。[禁闭能概念是使用泡利不相容原理的复杂论证的简单版本，见第 4.6.2 节。]

设半径 、质量 的星由原子序数 、原子质量 的原子组成。定义无量纲比 ，因它常出现。星含 个原子，电子数 。电子数密度为 ，每电子被限制在尺度 的区域（厚颜忽略 等因子）。电子动量 ，非相对论禁闭能为 。乘 得总禁闭（动）能

因 。以 表示：

接着求引力势能，它是星中质子、电子、中子等所有粒子两两相互作用之和，混乱不堪。先作量纲论证。用 构造能量，凡是

的形式都是能量，但有三种质量、两个位置。幸而引力不在乎组成，μ 子、夸克、电子、质子均服从万有引力，故 无关：

物理论证也给出此式：两随机点间距约 ；把半个星团在一点、另半个团在另一点，它们势能约 。忽略数值因子便得 ，同 (3.54) 但符号正确。

令 求 ：

所以

其中有两个 ，乘 制造两个 ，重排得

首因子也见于 (3.22)。由此比较第二因子 和氢计算的 ，称 为引力精细结构常数；其值 ，引力远弱于静电力。其余无量纲因子在氢计算中没有类比。

若太阳是白矮星，多大？用 (3.57) 并相对 标度。多数原子 ，半径为

数值因子合为

时约为 0.3 个地球半径。更精确计算（严格物理）前因子为 4.5，实际半径约为一个地球半径；白矮星很密。

质量—半径关系的计算和玻尔半径相同：两系统皆有势能来源——星中引力、氢中静电力；若无对抗，势能在零尺寸 或 最小；两者中禁闭能均抗拒坍缩。

注意 ，所以体积与质量成反比。固定 时电子密度 。到某质量 足够大，电子变为相对论性（推导假定其非相对论）。可令每电子动能等于 求临界质量。每电子动能为 (3.51) 除以 ：

令其等于 ：

将 (3.56) 的 和 代入，得

约去公因子并重排，临界质量为

加上严格物理前因子 3.15，这就是钱德拉塞卡 1931 年导出的钱德拉塞卡质量：白矮星可有的最大质量，约 。我们本只求非相对论与相对论区间的过渡质量，却得到它；因为相对论白矮星比非相对论者更软，更难抗压。想象缓慢加质量：质量增大时半径减小（），电子速度也随之改变；速度接近 时较软的相对论行为逐渐主导，半径比 降得更快，电子速度增大更甚，相对论行为越发主导。这是正反馈；质量足够大时使半径趋零。（实际不趋零，白矮星会变成更致密的中子星。）同一物理决定钱德拉塞卡质量和过渡质量，故估计也是前者的估计。

3.4.2 白矮星上的山

白矮星最高山多高？能量密度为弹性模量，；质量密度 ；重力加速度 。将这些代入 (3.43)：

质子、电子质量与 等泥潭都消去了，只余屈服应变和白矮星半径。白矮星物质或有 （高压压扁晶格缺陷）。使用 (3.59)，山高为

若 ，山高约 20 km；那会是一场需要许多巧克力棒的攀登。

3.5 你学到了什么

量子力学： 对量纲分析的相关变量列表只要加入 ，便能理解量子力学的许多后果。量子力学通过 引入新的动量尺度——不确定性动量 ，并间接引入不确定性能量，即禁闭能。

平衡： 许多物理系统有两个竞争过程。例如一个能量（也许引力）与另一能量（也许不确定性能量）竞争。能量在最小能量态附近通常相等。寻找这些竞争！

原子尺寸： 原子直径为数个埃。

结合能： 典型共价和离子键能为数 eV，这是静电吸引的结果。

Footnotes

1. 在数量级估算中，我们忽略物体所走的精确路径等细节，以典型尺寸及也许典型速度代替。量子力学把这种懒惰正当化为物理学原理。 ↩

2. 泡利原理的解释见任一量子力学教材；Gasiorowicz 的教材 [11] 尤其紧凑清晰。 ↩

3. 此密度估计也说明为何材料物理中 cgs 单位比 mks 方便。典型 cgs 密度为 3，是适中易用的数；典型 mks 密度为 3000，不便处理。 ↩