第 5 章：波

5 波

海洋覆盖地球大部分表面，波浪遍布海洋大部分区域。是什么使波移动，又是什么决定其速度？本章研究水波，并运用、扩展近似技术来回答这些问题。本章主题是：考虑极限情形。

5.1 色散关系

我们用色散关系研究波。色散关系给出波可具有的频率和波长；关于色散关系可参见 Crawford 的著作 [5]。其通常形式连接角频率 和波数 。波数定义为 ，其中 是波长。例如，真空中电磁波满足 ，即波以 的速度传播，与频率无关。色散关系蕴含大量波的信息：它给出波峰、波谷移动多快（相速度），波包移动多快（群速度），这些速度怎样依赖频率（色散），以及能量损失率（衰减）。

通常需解令人不快的偏微分方程——波动方程——才能得到色散关系。对水波，须线性化流体力学的欧拉方程，特别是边界条件很棘手。我们既急躁又懒惰，改用量纲分析推导色散关系，再用物理论证补全它。粗略方法不能求无量纲常数，但研究波的妙处在于它们常常为 1。

怎样连接频率和波数？它们的量纲分别为 与 ，须加入具有各种量纲的变量。于是考察决定波行为的物理性质。开放海洋波浪和浴缸波浪不同，想必由于水深不同，记为 。浴缸或海洋宽度也可能重要，但忽略它，只研究垂直于宽度的一维波。

为确定其他重要变量，采用“波像弹簧”的原则，因为每个物理过程都包含弹簧。这并非严格正确，却是有用的概括。弹簧有平衡位置；若系统有静止的未扰动状态，就应寻找弹簧。海洋的未扰动状态是平静海面；电磁波的静止状态是无辐射的真空。弹簧还会振荡：机械系统中，惯性使质量越过平衡点；等价地，动能和势能相互转换。水波将势能储存在表面扰动中，将动能储存在水的运动中。电磁波的能量则在电场和磁场间荡漾；磁场由运动电荷产生，是动能库，电场由静止电荷产生，是势能库。因此电磁场是每个频率各有一个的弹簧组。反例是第 2.3.2 节研究的、在玉米糖浆中缓慢下沉的弹珠：糖浆动能及其惯性微不足道，系统没有动能库，也就没有弹簧。

水面最低能量状态为水平；偏离平面即波，会受到回复力。真实弹簧的回复力来自原子间键。知道弹簧常数的来源后便可计算它，再计算振荡频率。表面变形像拉伸橡皮膜，水的表面张力反抗这种变形；变形也须抬高平均水位，重力反抗此变化。因此回复力是重力与表面张力的结合，变量表中应有表面张力 与重力 。第 5.2.1 节的简单模型将说明二者如何恢复水位。

波中回复力与惯性抗衡，惯性在这里由流体密度 表示。重力不在乎密度：更密物质受更强引力，恰被更大惯性抵消。这一精确抵消重述了爱因斯坦广义相对论所依据的等效原理；第 2.2 节摆的解中摆锤质量消失，也是同一原因。表面张力却不随密度成比例增强，故预期由表面张力提供回复力的波受 决定。以下常称水波，但结果适用于任何流体。假定波无损失，排除黏性；也排除介质声速 ，因而忽略声波。还假定振幅 比波长和水深小，只研究小振幅波。表 5.1 列出变量。

变量	量纲	描述
		角频率
		波数
		重力加速度
		水深
		密度
		表面张力

表 5.1　决定水波行为的变量。

六个变量有三个基本量纲，故寻找 个无量纲群。 是逆长度， 是长度，故

这是无量纲水深： 是浅水， 是深水。第二群来自重力； 的单位除一个长度因子外与 相同，波数补足此差：

此群不含密度。若排除表面张力，只有 ；重力单独使波传播，等效原理说明密度不可能出现。第三群应含表面张力，并衡量重力和表面张力的相对重要性。 是单位长度的力， 是单位体积的力，故 有长度平方单位，以两个 中和：

也可取 ；无量纲群的选择很多。这里的选择突出重力，方便研究多数海洋中的重力回复波。

我们要求 。仅 含 ，故最一般的无量纲关系为

即

解出 ：

此式适用于深浅水、表面张力或重力主导，以及中间情况。图 5.1　波的世界地图。无量纲群 和 将世界分为四区； 衡量水深（是水洼还是海洋）， 衡量表面张力与重力的相对贡献（是涟漪还是重力波）。 划分深浅水； 的划分更微妙：大 或小 都使 小，故长波如强重力，属于重力波；大 区属于表面张力波。

图 5.2　地球上的水波。以熟悉的水深和波长为坐标，粗分界线依据 与 ；每区列有一两个例子。取 、，涟漪与重力波的边界波长略大于 。

尚不知魔术函数 在任何区域的形式。为找出它，建立简单物理模型并研究极限情形。像拼图者先做物理最简单的角，再沿边连接，最后进入内部。本章是分而治之的大例子，极限情形便是拼块。

5.2 深水

先研究 的深水（图 5.3 阴影区域）。深水意指波感受不到海底。波的“触角”伸多深？波内唯一长度标度是 ，故预计深度 （照例忽略 ）。可由拉普拉斯方程验证。设波在 方向周期性， 是表面下深度（图 5.4），则

其中 是速度势；它具体为何并不重要，只须知道它衡量波效应、 处无波，且满足拉普拉斯方程。波形如 ，取

衡量波随深度衰减。 的二阶导数带来两个 和负号：

故 项须给出 ：

从而 。海底处不指数爆炸的物理解为 ，海底相对表面的效应为 ；当 ，海底仿佛在月球上。无量纲因子 比较水深与触角深度：

图 5.3　波的深水部分。图 5.4　无限长波的一段。正弦剖面的波长为 ；水深为 ；研究 方向宽度 。

深水中 不影响传播，故从变量表及 中消失（ 仍在 中）。所谓 大本身无意义，必须问相对哪个长度大；拉普拉斯方程说明标准为 ，即 大。数学上即假定 (5.6) 的 在 有极限：

深水边有两个角：重力或表面张力提供回复力。

5.2.1 深水上的重力波

现在专门考察水深、重力强的图 5.5 区域，包括多数风生波和船尾波。，故

懒惰方法不能给出 ，通常取 1；幸运的是精确计算也给 ：

图 5.5　波的世界中深水—重力波部分。

为理解而非魔术般接受此式，追随水的运动。波峰的水并不流入波谷；较高波峰在其下方造成比波谷更高的压力，迫使水由波峰下流向波谷，抬高波谷，表面像秋千越过平衡位置般产生新波峰并循环。图 5.6　波峰下的较高压力。波峰比波谷高约振幅 ，故压力差约 ，使水由波峰下流向波谷，波遂前进。

以矩形近似取代速度随深度的复杂衰减：水到某深度整体运动，以下静止（图 5.7）。拉普拉斯方程说明压力变化尺度为 ，故板块深度为 ；其波峰到波谷的长度亦为 （实际为 ），宽度 任意，最终会消失。压力差 作用于面积 ，产生

板块质量为

故加速度为

重力加速度被近似波面斜率的无量纲因子 减小。板块移动距离 扫过体积 ，在波谷下推表面上升 ；，故表面与板块移动相同距离，因而

浅水时海底会在 前截断板块，此等价不再成立。简谐运动中 ；波亦然，故

即

图 5.7　水板块。波峰下（左）压力高于波谷方向（右）；阴影端面面积 ，额外压力 ，故 。板块质量 ，可据此计算加速度和动能。

亦可由能量推导。图 5.8　造波所需能量。阴影水块必须抬高约 ；实际水并不由波谷移至波峰，但这个方便图像不改变能量计算。上移体积为 ，势能为

板块与表面速度近似相同，横向和向上运动能量相近；忽略常数，只算横向。表面在 内移动 ，速度为 ，故

平衡 (5.21)：

约去 ，再次得到

能量法与力法一致。它给出 的意义：

因此 等价于 ，即动能与重力势能可比；对像弹簧的波并不意外。三种推导（量纲、力、能量）相互增加了对结论和方法的信心。

波峰以 移动。深水重力波中

或用 代 ：

无限单频波列的峰谷以此速度移动；有限波列含混合频率，各频率速度不同，深水有色散。波包以 移动，波峰在包络下缩长以适应它：

群速度为相速度一半，故船尾波拖在船后：船速 产生 的重力波，波包却以半个船速前进，在船看来向后行，且形成开角取决于 的楔形。

5.2.1.1 冲浪

洛杉矶一次冬季风暴后，海浪约每 18 秒到达。风推动比它慢的波峰；推得足够久后波峰速度近似风速。由 (5.27)，：

约为 的强风。波长为

波峰相距半千米；近岸时感到海底而拥挤，源自第 5.3.1 节浅水色散关系。次日波间隔为 17 秒。应先检验此周期变短是否合理：群速度正比于 ，即正比于周期，故长周期 18 秒波更快，应先到，事实如此。可由间隔下降推出风暴距离：18 秒波在长途中领先 1 天，速度比为

故赛跑约持续 天 。波包以 移动，风暴距 ，约半个地球！图 5.9　实际世界（粗略地图）。近南极风暴产生向外传播的波，一些抵达洛杉矶，使冲浪者和教材作者欢喜。

5.2.1.2 快艇

下一应用是快艇：船最快多快？排除滑行艇。长船通常比短船快，故船长 可能决定极限速度。仅从 无法组成无量纲群，须加变量。黏性无关：即使 5 m 小船以 缓行，

雷诺数巨大，流动湍流且不依赖黏性；表面张力也无关，船远长于约 1 cm 的涟漪。重力也许相关。由 可组成弗劳德数：

临界弗劳德数是决定最大船速的无量纲常数，照例取 1：

机制是船产生船首重力波并骑在其上，。因 ，

其中 。因此波长约 ，并可解释

当 ，船长与 可比，船骑在自己的波上而上翘，向水呈现大截面，阻力巨大，故

5 m 小快艇约为 或 15 mph；可更快，但须大量功率抗阻。双体船和水翼船掠过水面，故这种阻力不限制它们。弗劳德数还决定动物从走路变为小跑或跑步的速度；它近似动能与势能之比：

人腿长 时， 给 ，约 6 mph，粗略为竞走速度上限。

5.2.2 深水涟漪

短波长（大 ）时表面张力提供回复力（图 5.10）。最终色散关系中 应消失；不能直接丢弃 ，否则也丢了决定回复力的 。深水式 (5.12) 前有一个 ，函数自变量分母中也有一个 ，取 便抵消它，得 。幸运地，常数仍是 1：

图 5.10　波的世界中深水—涟漪部分。

用水板块能量论证：表面像橡皮膜，波拉伸它、增加面积。振幅 、波数 的正弦波典型斜率为 。不积分弧长，而以同样典型斜率的直线近似（图 5.11）；相对水平线，其长度因子为 。取 向特征长度 、宽 ，额外面积为

故势能为

动能仍为

平衡二者：

所以

图 5.11　用直线近似正弦波。为求造波所需的额外表面积，本想求正弦波弧长，却懒得积分；以同样特征斜率的直线替代。正弦波典型斜率为 ：在约 1 弧度、即 长度内上升 。小斜率时斜边长约 。

现可精确解释为两类势能之比：

等价地，

这提示表面张力像强度为

的有效重力场。气球的橡胶表面张力使内压高于外压；同理，波峰下弯曲的水皮压力较高，波谷下较低。将重力波势能中的 换为有效 ，便有

对 (5.14) 作同样替换：

相速度和群速度为

故涟漪波包比波峰快，领先于船；重力波则拖后。典型 涟漪有 、，

群速度约 。1 cm 约是仍称涟漪的最长波长，其

稍小 即进入 灰区，更小则为重力波。更短波更快，故 21 cm/s 是涟漪大致最小相速度；石子激起各种波长，短波先行，约 1 cm 的落后，因不与其他涟漪混合而清晰可见。

5.2.3 合并深水涟漪与重力波

连接深水的两个角（图 5.12）。为方便重述：

二者均由动能与势能平衡得到，差别只在势能来源。中间区两势能贡献相加，故最简单猜测且正确：

亦可将真实和有效重力相加：

代入 ：

任意波长的相速度为

高 时表面张力项占优，低 时重力项占优，故中间有最小速度 。平衡两项：

得

此处 ，正处涟漪—重力波边界，相速度为

水中 ，，

平衡法不诚实地替代了微积分；微积分同意最小相速度，并给出最小群速度

诚实地最小化，选单位使

三基本量纲使这是最大自由度，即选典范质量、长度和时间而令一切无量纲。最小化平方速度：

对正 ，算术—几何平均不等式为

等号仅在 。图 5.13　无字证明：算术—几何平均不等式的几何证明。可自行把图译为传统证明（提示：画一个三角形）。取 ，几何平均为 1，故

等号在 。此单位制中

且

即

时群速度也为 2，故边界波相、群速度相等。换回普通单位， 实为 ，补上的常数确为 1。

最小群速度较复杂，最小化 ：

令其为零，解 ，正根为

此时

故普通单位中

代水的密度和表面张力即为 (5.63) 的 17.7 cm/s。向池塘投石后，先见落点周围静圆，再以该最小群速度扩张；可在厨房水槽滴硬币试验。最小相速度对水黾有用：若移动慢于 23 cm/s，便不生波，节省行走能量。

5.3 浅水

浅水中，深水计算里消失的 回来，使变量更复杂（图 5.14）。仅靠量纲分析不能确定 (5.6) 中魔术函数的浅水形式，须修改水板块论证。深水板块深 ；浅水 时，海底先到，板块深为 、长仍为 、宽仍为 。连续性论证改变：深水中板块深长相同，板块和表面移动同距离；浅水板块薄了 倍，表面速度比板块慢 倍。表面速度为 ，故板块横速 ；主要动能在板块中：

图 5.14　波的世界中浅水部分。

5.3.1 浅水上的重力波

先考察水浅、波长长的图 5.15 区，包括潮波和海底地震波。重力波势能仍为 (5.21)：

它来自表面变形，只要振幅比水深、波长小，浅水中也相同；主导力决定势能，水深决定动能。平衡 (5.75)：

故

等号仍因无量纲常数为 1；浅水重力波中

相速和群速相等且与频率无关：

浅水无色散，各频率同速，脉冲不展宽。智利外海地震使海底下降时，产生的浅水波可无畸变到达日本。 时，，可在一天穿越 km 海洋；接近海岸水深减小，波减速、振幅增大，登陆时成为破坏性巨浪。图 5.15　波的世界中浅水—重力波部分。

5.3.2 浅水上的涟漪

图 5.16 的浅水涟漪罕见：雨滴落在深小于 1 mm 的浅水坑时才有，且只有 cm 的最长涟漪能感到坑底。势能仍为 (5.41)，因水深不影响势能，主导的表面张力才影响它。将之与 (5.75) 平衡：

得

相速度为

群速度 ，因为 。若 mm，

图 5.16　波的世界中浅水—涟漪部分。图 5.17　波的世界浅水部分（同图 5.14）。

5.3.3 合并浅水涟漪与重力波

已研究浅水世界的两个角，现连接它们，研究图 5.17 的一般浅水波。可直接相加 (5.78)、(5.82)，或将 (5.56) 的有效重力代入 (5.78)，均得

5.4 合并深浅水重力波

现在考察图 5.18 的重力波边。由 (5.14)、(5.78)：

须找 ，使 时趋于 1、 时趋于 。一个简单函数为 ，故猜测“唯一真实重力波色散关系”为

其可信之处在于 时 指数衰减，符合拉普拉斯方程论证；事实上猜测正确。图 5.18　波的世界中重力波部分。

5.5 合并深浅水涟漪

最后考察图 5.19 的涟漪边。第 5.4 节中 在 从 0 到 时成功插值 与 1。拉普拉斯方程的论证不依赖回复力，故猜同一技巧适用于涟漪。相关关系为

提出 后：

这与重力波结果相似，故作同样替换：

得到一般涟漪色散关系：

它实际价值不大：付出比深水涟漪式 (5.39) 更大复杂性，只涵盖罕见的池塘涟漪；为完整起见仍列出，以便下一步合并世界的四条边。图 5.19　波的世界中涟漪部分。

5.6 合并所有分析

将 (5.56) 的 代入，得到唯一真实色散关系：

5.7 我们做了什么

我们通过研究色散关系研究水波：先绘出波的世界地图，探索角落，再探索边，最后拼合结果，理解复杂的完整解。现在可画出完整地图（图 5.20）。如本章所做，先考虑极限情形再将其缝合，使分析既可处理，更重要的是可理解。

图 5.20　我们做了什么。每个框代表一个极限；框旁数字标示研究该极限的顺序。最后一步（9）把全部分析合并到中央超级框，其中含适用于所有波的色散关系：重力波或涟漪、浅水或深水。箭头显示如何将较小、较专门的角框合并为较一般的边框（双线），再将边区合并为通用中央框（三线）。