第 2 章：流体力学中的应力与应变

本章定义若干必要的术语，特别是引入流体中应力的概念。我们还将定义流体的应变速率张量，并介绍广义牛顿流体。这些概念将在后续章节讨论材料性能以及注塑成型仿真的控制方程时用到。

2.1 流体中的应力

注塑成型中熔体的流动，涉及材料在注塑机与模具所施加力作用下的变形。任何确定流动的尝试，都需要描述这些力如何传递到熔体并在其内部传递。应力的概念使我们能够考察这些力的影响。

在下一节中，我们给出一个适合本书目的的应力定义。我们的处理方式遵循 Tanner [356]，读者可参阅该著作以获取更多细节。应力可以通过应力存在的柯西定理（Cauchy 定理）更严格地定义 [136]，这源于动量守恒，包括线动量和角动量。Denn [78] 也从这一角度定义应力，鼓励有兴趣的读者探究这些文献。

2.1.1 应力张量

应力是外力作用于材料体时所传递力的度量。材料体可以是任何材料的一团物质，无论液体还是固体。为了定量地定义应力，考虑一个材料体 ，其中包含材料内部的一个封闭曲面 ，如图 2.1 所示。可以预期， 外部的材料与内部的材料会通过曲面 相互施加一个分布力。我们要考察 内部材料与外部材料之间的相互作用。

图 2.1：应力向量的定义

相互作用有两类基本形式：体力与表面力（或接触力）。单位面积上的表面力称为表面牵引力（surface traction）。

体力作用于物体内部的质量单元，其单位为每单位体积的力或每单位质量的力。常见的例子是重力。表面牵引力直接作用于曲面 ，单位为每单位面积的力。一个例子是气球内部气体对气球皮所施加的力。这通常称为压力，方向垂直于气球皮。然而，表面牵引力并非总是垂直于表面。例如，摩擦力就是沿表面切向作用的表面牵引力。

为进一步定义应力，我们再次参照图 2.1。考虑曲面 上的一个微小面积 。在 上某点定义法向量 ，使其指向 的外部。将法向量所指的一侧称为正侧。考虑位于正侧的那部分材料，它对位于 负侧的另一部分材料施加力 。力 取决于法向量 的方向、面积 的大小及其位置。如果假设当 趋于零时，比值 趋于一个确定的极限，且作用于 上的力对 内任意点的力矩趋于零，则可以写成：

向量 称为应力向量（或牵引向量），描述作用于物体内某面上一点处的单位面积力。表面力 可以分解为分量。例如，假设在定义应力向量的点处，表面的法线指向 方向。那么表面力可以分别沿 、、 方向分解为分量。于是可以求得这些方向上单位面积力的分量。这些单位面积分量在 、、 方向上分别记为 、 和 。 和 方向的分量与 - 平面相切（ 和 ），称为剪应力；而 分量 称为法向应力，如图 2.2 所示。

图 2.2：应力向量的分解

注意，在我们引入的记号中，第一个下标表示定义应力向量处面积法线的方向，第二个下标表示分解方向。还要注意，我们假定拉应力为正，因此压力为负。这并没有统一的标准约定，提醒读者其他教材可能采用不同的定义。

可以证明 [330]，如果在过一点处的三个正交平面上定义了应力，就可以求得过该点任意平面上的应力。图 2.3 显示了作用于物体内一点 处的应力。为清晰起见，本应通过 点的平面被移开了。因此，应力的定义需要对三个平面中的每一个定义一个法向应力和两个剪应力。也就是说，定义物体内一点处的应力需要九个应力。这九个应力构成一个二阶张量的分量，称为应力张量，记为 。方便起见，将下标 、、 用 1、2、3 代替，例如 写成 。每个分量可用符号 标识，其中 ，。应力张量也可以写成其分量的矩阵形式：

图 2.3：应力分量

在图 2.3 中各面上不存在力偶的情况下，应力张量是对称的，即 。并没有先验的理由要求力偶必须为零，因此应力张量的对称性只是一种本构假设。

一点处应力张量 与该点处外法线为 的平面上的应力向量 之间的关系为：

即采用爱因斯坦求和约定（见附录 B），。

2.1.2 附加应力张量

对于静止流体，应力等于热力学压力 ：

注意右端的负号。如上所述，拉应力取为正，压应力取为负。热力学压力由材料的 PVT 关系定义。该关系给出一个状态方程，将压力与材料的比体积 及温度 联系起来。我们将在第 3 章进一步讨论。另一方面，如果流体在运动，还必须考虑附加的应力。这就要求我们在应力张量中增加一项来加以考虑：

在可压缩流动中，压力 是体积应变的函数，而 与体积变化无关。对于不可压缩材料， 称为附加应力张量（extra stress tensor），当运动已知时可由本构方程计算，而压力必须由动量平衡和边界条件求出。我们稍后考虑其形式。

2.1.3 应变速率张量

流体的一般运动涉及平移、变形和旋转。流体中一点的平移由其速度向量 定义。流体在一点处的变形和旋转取决于其速度梯度张量。采用其他一些著作（如 [287]）的约定，我们将速度梯度张量 定义为

其分量为

其中 是一个称为速度梯度的张量，其分量为

上标 “T” 表示转置运算。应当注意，这一定义在流变学著作中并不统一。

速度梯度张量可以分解为一个对称部分，称为应变速率（或变形速率）张量 ，定义为

以及一个反对称部分，称为涡量张量 ，定义为

后文我们将在黏度建模中广泛使用应变速率张量，而涡量张量在纤维取向预测中起重要作用。

2.2 牛顿流体与非牛顿流体

为了对流体流动建模，特别是对注塑成型建模，我们需要附加应力张量 与应变速率张量 之间的关系。这种关系称为本构方程。

牛顿流体具有形式特别简单的本构方程：

其中 是黏度， 是体积黏度（dilatational viscosity）。

对于理想的简单气体，体积黏度为零 [35]。此外，在不可压缩流动的情况下，，体积黏度变得无关紧要。鉴于体积黏度在这些极端情形下没有影响，我们假定它对聚合物熔体的影响可以忽略，因此在下文中予以忽略。于是式 (2.11) 变为：

式 (2.12) 表明，对于牛顿流体，附加应力张量与偏量应变速率张量呈线性关系。此外，式 (2.12) 预示 ，即使对可压缩流动也如此，因此纯体积变化 不影响应力 。还要注意，式 (2.12) 中的最后一项是各向同性的。我们将其视为由流体运动及其可压缩性产生的压力，记为 。因此式 (2.12) 可写为：

将其代入式 (2.5)，得到

其中 是某种平均压力，同时涉及状态方程和流体的运动。

对于牛顿流体，黏度在特定温度下为常数，但可随温度变化。不满足式 (2.14) 的流体称为非牛顿流体。聚合物熔体的黏度随温度和变形速率而变化，因此是非牛顿流体，必须对式 (2.14) 作某种修正。最简单的修正之一是允许黏度 成为流体变形速率的函数。

2.3 广义牛顿流体

在上一节中，我们指出需要允许黏度是流体变形速率的函数。设 表示黏度函数。我们希望定义某种关系，使 依赖于变形速率。不能让 直接依赖于变形速率张量 ，因为张量的分量在不同坐标系中会发生变化，而 是标量，必须在参考系变换下保持不变。

每个二阶张量都有三个独立的标量不变量，之所以如此命名，是因为它们的值与坐标旋转无关。因此，黏度函数应基于变形速率张量的不变量。对于变形速率张量，第一不变量对不可压缩流体流动恒等于零；对于剪切型流动或任何平面流动，第三不变量也为零 [35]。由于注塑成型是剪切主导的过程，我们只剩下第二不变量，记为 。为了定义第二不变量，首先需要引入张量的双点积（或称标量积）。对于两个张量 和 ，双点积记为 ，定义为：

张量 的第二不变量定义为：

方便起见，对所有流动定义广义应变速率：

它可用来定义黏度函数。在剪切流动中， 是剪切速率的大小。

当流动行为主要由黏度主导时，可以定义广义牛顿流体（GNF），其黏度允许依赖于广义应变速率：

其中 称为黏度函数。

GNF 是非牛顿流体，但既无记忆性也无弹性。它适用于对剪切力主导的聚合物流动建模 [35]，例如注塑成型。

将式 (2.18) 代入式 (2.14)，得到适用于可压缩广义牛顿流体的如下关系：

为简洁起见，后文将 简写为 。