第 8 章：改进的力学性能建模

8.1 引言

本章仅限于预测纤维增强复合材料的弹性模量和热膨胀系数。这些性能由成型过程中计算得到的纤维取向分布导出，并用于翘曲或结构分析，如第 5.3.7 节所述。这些分析通常使用短期性能。实际上，这些性能是随时间变化的。关于未填充聚合物长期失效等性能的建模研究进展，可参见 Klompen 等人的工作 [205, 206]。

在纤维增强聚合物中，纤维的几何形状、浓度、热力学性能和取向分布，以及聚合物基体的热力学性能，都会显著影响复合材料的力学和热学性能。材料建模的思想是从微观层面的力学和物理出发，预测注塑复合材料的宏观行为。预测微观结构对整体性能影响的一种有效方法是平均场均匀化方法。Tucker 和 Liang [371] 综述了几种基于平均场均匀化的细观力学模型。他们推荐 Mori-Tanaka 模型 [258] 作为估算注塑中取向短纤维复合材料刚度的最佳选择。

预测过程包括两个主要步骤。第一步是使用细观力学模型预测完全取向材料的单向性能。在轴对称纤维的情况下，单向复合材料的性能是横向各向同性的。第二步是将取向信息与完全取向材料的单向性能相结合，在考虑取向分布影响的情况下，预测更复杂体系的性能。

在下文中，我们使用上标 f 表示与纤维相关的量，使用上标 m 表示基体量。

8.2 单向复合材料有效性能的建模

8.2.1 有效刚度

考虑由体积分数为 的基体和体积分数为 的纤维组成的两相复合材料（二者满足 ），复合材料中的平均应力 由下式给出：

其中 和 分别为纤维和基体中的体积平均应力，由下式给出：

其中 和 分别为纤维和基体所占据的体积。复合材料中的平均应变 由下式给出：

其中 和 分别为纤维和基体中的体积平均应变。类似地，纤维相和基体相中的应力-应变关系分别为

和

复合材料的有效刚度张量为 （），它按下式将平均应变与平均应力联系起来：

Hill [156] 定义了一个称为应变集中张量的四阶张量 ，它本质上是纤维平均应变与复合材料总平均应变之比，即

联立方程 8.1–8.7，可得

因此，

这就是有效刚度张量 所需的方程。由于 、 和 都是已知的，因此只需求出应变集中张量 。一旦确定了 ，就可以计算有效刚度。 的不同表达式代表不同的模型。例如，如果 ，其中 （）是四阶单位张量，则方程 8.9 简化为

这就是 Voigt 平均。Voigt 平均是有效刚度的上限。

Eshelby [98] 得到了稀薄（dilute）情形下的解。对于嵌入无限大基体中的单个椭球形颗粒，应变集中张量记为 ，由下式给出：

其中 是四阶 Eshelby 张量 [98]， 是弹性柔度张量。Eshelby 模型仅适用于颗粒之间无相互作用的低浓度情形。

Mori 和 Tanaka [258] 将上述模型推广到了非稀薄情形。我们将应变集中张量 记为 。要求 在两个极端浓度下满足下列条件：

显然，下面的方程满足两端的必要条件：

将方程 8.13 代入方程 8.9，得到

或等价地，

该模型最早由 Mori 和 Tanaka [258] 推导，因此称为 Mori-Tanaka 模型，后来 Benveniste [32] 和 Christensen [61] 以更简单、更直接的方式对其进行了描述。该模型在低浓度下给出正确的稀薄解，在高浓度下也给出正确的复合材料性能。Tandon 和 Weng [354] 给出了各向同性基体的 Eshelby 张量 的实用封闭形式表达式。Eshelby 张量的一般形式见 Mura 的著作 [262]，也可以通过数值方法计算（Gavazzi 和 Langodas [129]）。

方程 8.15 的一种等价形式为

这就是 Benveniste [32] 论文中给出的方程。

8.2.2 有效热膨胀系数

复合材料的热弹性本构关系可表示为

其中 是有效热膨胀系数张量。Benveniste 和 Dvorak [33] 证明了

弹性柔度张量 可由 Mori-Tanaka 模型计算。方程 8.18 与 Rosen 和 Hashin [314] 的下述方程等同：

8.2.3 纤维浓度和长径比的影响

前面几节描述的细观力学模型的行为，将通过七个有效热力学性能的预测来说明：弹性模量 、、，泊松比 和 ，以及热膨胀系数（CTE） 和 ，计算范围为整个体积分数区间 和不同的长径比。下面给出的结果是针对沿 1 方向取向的纤维计算的。计算中，我们假定纤维/基体体系的性能由表 8.1 给出。

表 8.1 短玻璃纤维增强复合材料各组分的性能数据

性能	基体	纤维
杨氏模量	GPa	GPa
泊松比
热膨胀系数	K	K

8.2.3.1 纤维浓度的影响

图 8.1 和图 8.2 绘制了基于 Mori-Tanaka 模型在固定长径比 下，五个有效弹性常数 、、（均以 归一化）、 和 随纤维体积分数 变化的数值结果。注意到 和 在 时收敛于 1，在 时收敛于 。 随体积分数的变化接近线性，表明对于该长径比，Mori-Tanaka 模型预测的 与混合定律的偏差不大。横向模量和剪切模量 和 的值在达到高体积分数之前相对较低，表明这些模量的值由基体主导。

有效热膨胀系数（CTE）随纤维体积分数 的变化绘于图 8.3 中。低体积分数下横向膨胀系数的轻微增大归因于纤维的轴向约束 [321]。

图 8.1：长径比 时以 归一化的有效模量随纤维体积分数的变化，采用 Mori-Tanaka 模型预测

图 8.2：长径比 时有效泊松比随纤维体积分数的变化，采用 Mori-Tanaka 模型预测

8.2.3.2 纤维长径比的影响

图 8.4 和图 8.5 给出了体积分数 时，Mori-Tanaka 模型对五个有效弹性常数 、、（均以 归一化）、 和 在很宽长径比范围内的预测结果。纤维长径比对 、 和 的影响很小，但对纵向杨氏模量 和泊松比 有显著影响。最大的影响出现在小长径比处。然而，当长径比超过 50 时， 和 对长径比的敏感性降低并趋近于渐近值。

图 8.3：长径比 时有效热膨胀系数随纤维体积分数的变化，采用 Rosen-Hashin 模型预测

图 8.6 给出了 时热膨胀系数随纤维长径比变化的建模结果，由 Rosen 和 Hashin [314] 模型预测。

图 8.4：纤维体积分数 时以 归一化的有效模量随纤维长径比的变化，采用 Mori-Tanaka 模型预测

图 8.5：纤维体积分数 时有效泊松比随纤维长径比的变化，采用 Mori-Tanaka 模型预测

图 8.6：纤维体积分数 时有效热膨胀系数随纤维长径比的变化，采用 Rosen-Hashin 模型预测

8.3 纤维取向平均

在实际情形中，短纤维在复合材料中很少完全取向。这里特别关注的是预测纤维取向分布如何影响热力学性能。其基本方法是对大量子单元进行平均处理，每个子单元可视为由一根纤维及其周围的基体材料组成。整体性能就是所有子单元性能在所有方向上的平均，并按子单元的数量加权。这一过程称为取向平均。

如前所述，纤维取向张量定义为纤维单位取向向量 的并矢积乘以分布函数并在所有方向上积分。纤维取向张量可用于进行取向平均（Advani 和 Tucker [2]）。横向各向同性子单元的四阶刚度张量 可按下式进行平均，得到复合材料刚度 [2]：

常数 是张量 的不变量，由下式给出：

一般而言， 不再是横向各向同性的。方程 8.20 表明，复合材料刚度同时依赖于二阶取向张量 和四阶取向张量 。事实上，只需要知道四阶张量即可。注意到 ，可以证明

这意味着，对于横向各向同性子单元的情形，二阶张量已包含在四阶张量之中。

取向平均方法也可用于预测平均热膨胀系数。其结果为

其中四阶刚度张量的平均由方程 8.20 给出。另一个涉及二阶张量的取向平均由 Bay [29] 给出：

知道了 和 的平均值，就可以在翘曲或结构分析中预测构件的结构性能。

也有比方程 8.20 更精细的其他方法。例如可参见 Eduljee 等人 [93] 和 Lin 等人 [226] 的工作。