第 9 章：长纤维填充材料

传统的短纤维增强注塑材料自 20 世纪 60 年代问世以来已在工业中得到广泛应用，因为它们不仅能改善强度性能，而且还具有在注塑模具中顺畅流动的能力。用于注塑的短纤维热塑性复合材料粒料通过挤出工艺制造：聚合物与短切纤维原丝在单螺杆或双螺杆挤出机中混合，挤出并切粒。由于在挤出混炼过程中纤维长度发生磨损，这种技术产生的是短纤维，其典型长度为 0.2–0.4 mm，长径比为 20–50。纤维被包覆在聚合物基体中形成粒料，在粒料内部纤维呈随机取向，如图 9.1(a) 所示。

自 20 世纪 80 年代中期以来，可注塑的长纤维增强热塑性（LFRTP）复合材料已实现商业化（Cattanach 等人 [52]）。不过，长纤维仍然是不连续的。长纤维热塑性复合材料粒料通过拉挤工艺制造：将包覆着聚合物基体的连续纤维牵引通过圆形口模。当得到的含纤维料条固化后，将其切成单粒粒料。这些粒料的典型长度为 10–13 mm，内部等长的纤维沿粒料长度方向排列，见图 9.1(b)。长纤维的长径比可超过 100。例如，McClelland 和 Gibson [243] 报道了一种注塑尼龙 66 复合材料，其中含有长径比为 364 的长玻璃纤维（另见 Lafranche 等人 [216]）。长纤维增强热塑性复合材料比相应的短纤维复合材料具有更好的力学性能，同时仍保持其在注塑模具中流动的能力。

图 9.1：用于注塑的（a）短纤维粒料和（b）长纤维粒料的示意图

在长纤维复合材料注塑成型的建模中存在许多问题，包括纤维取向建模、纤维迁移、纤维断裂、加工过程中的纤维弯曲，以及复合材料强度的估算。

9.1 纤维取向演化模型

研究发现（Bailey 和 Rzepka [23]、Toll 和 Andersson [366]），在边缘浇口的注塑平板中，长纤维呈”三明治”结构排列：两个表层中的纤维平行于充模方向取向，芯层中的纤维垂直于充模方向取向，这是传统短纤维增强制件中经常观察到的典型结构。然而，纤维长径比的增大会导致芯层相对厚度增加。研究发现，对于长纤维复合材料，表层和芯层中的取向分布都更加随机。这可以解释为纤维之间增强的相互作用抑制了较长纤维的运动和再取向。

人们可能会预期，现有的短纤维取向模型可以用于描述长纤维的取向。然而，Phelps 和 Tucker [296] 发现，无论是传统的 Folgar-Tucker 模型还是减应变封闭模型（第 5.8 节、第 7.3 节），都不能准确预测实验中观察到的长纤维取向分布。不过，将各向异性旋转扩散模型（第 7.2 节）与减应变封闭模型相结合的模型，即 ARD-RSC 模型，在预测长纤维取向方面表现良好。这表明，对于长纤维而言，纤维-纤维相互作用的各向异性特征是重要的，必须在模拟中加以考虑。

9.2 流动诱导纤维迁移模型

流动过程中的纤维迁移是长纤维增强复合材料加工中的另一个问题。Spahr 和 Friedrich [338] 对短纤维（长径比 = 70）和长纤维（长径比 = 320）增强聚丙烯制件的性能进行了对比研究。发现长纤维样品在芯层区域的纤维浓度明显高于表层区域。

在过去三十年中，悬浮液中颗粒的流动诱导迁移一直是悬浮液流变学中一个活跃的研究课题。大多数研究者研究的是球形颗粒，但 Mondy 等人 [256] 例外，他们报道了长径比为 2 至 18、体积分数为 0.3 或 0.4 的棒状颗粒迁移的一些实验数据。他们观察到，流动悬浮液中的纤维从剪切速率较高的区域向剪切速率较低的区域迁移；这种迁移速率随棒状颗粒体积的增大而增大，但与纤维长径比关系不大。迁移的最终程度也相对独立于长径比，但在壁面附近区域除外。他们的观察表明，纤维迁移与球形颗粒迁移具有相似的机理。因此，出于建模目的，第一步可以采用与球形颗粒类似的方法。

Phillips 等人 [297] 提出了一个扩散通量模型来描述球形颗粒的迁移。Fan 等人 [105] 将该模型修改后用于短纤维悬浮液，由该修正模型得到的数值结果已被 Mondy 等人 [256] 的实验数据所验证。

实验和数值数据都表明，迁移是一个缓慢的过程。达到稳态浓度分布所需的时间主要取决于颗粒的体积。体积越小，迁移过程就越慢。对于短纤维这类小尺寸颗粒，达到稳态浓度分布所需的时间远长于注塑过程中的典型充模时间。因此，除浇口区域外，短纤维在注塑加工过程中的迁移可能并不显著。但对于长纤维而言，情况可能并非如此，Spahr 和 Friedrich 的实验 [338] 已经表明了这一点。迄今为止，尚无关于长纤维迁移的理论和数值研究。尽管如此，固相的守恒定律对所有物体都是相同的。如果我们假设长纤维与短纤维具有相同的迁移机理，我们也可以采用 Phillips 等人 [297] 的模型来模拟长纤维迁移现象。在该模型中，固体颗粒的守恒定律在欧拉参考系中写为

其中 是纤维的体积分数， 是颗粒通量，表示为

其中 和 是由实验数据确定的两个经验参数， 是相对黏度，定义为悬浮液黏度与溶剂黏度之比（）， 是基于单根纤维体积的颗粒无量纲等效半径， 是广义应变速率，见方程 2.17。颗粒通量由两部分组成：一部分来自纤维之间的碰撞（方程 9.2 右端第一项），另一部分来自黏度梯度（右端第二项）。在 Phillips 模型中， 通常采用 Krieger 针对球形颗粒的经验表达式 [212]。对于纤维悬浮液，建议使用 Phan-Thien-Graham 模型（方程 7.18），其中相对黏度 是纤维长径比的强函数。这使得通量 依赖于纤维长径比。然而，Kitano 等人 [203] 关于 的经验方程（方程 7.20）可能需要在长纤维的不同长径比范围内重新关联。

方程 9.1 在固体边界上满足无通量边界条件 ，其中 是外法向单位向量。还需要指定均匀的体积分数作为初始条件。整个区域上的平均体积分数在过程中将保持为常数。上述模型的一个缺点是，它在型腔流动中预测出尖点状的浓度分布。这是因为，在对称面上 及其梯度为零，因而 。然而实际上，由于来自整体流动的扰动，对称面上的颗粒不会绝对静止。因此 Fan 等人 [105] 将方程 9.2 修改为

其中 是表征整体流动扰动的参数。

9.3 纤维长度磨损模型

加工过程中的纤维长度退化是长纤维中的一个问题。Phelps [295] 基于流体动力载荷下纤维的屈曲力建立了纤维长度磨损模型，用于预测注塑加工过程中的纤维长度分布。在该模型中提出了一个断裂判据。该判据指出，长度为 、直径为 、取向状态为 的纤维在下列条件下将发生断裂：

其中 是变形速率张量， 由下式给出：

这里， 是树脂黏度， 是纤维弹性模量， 是纤维直径， 是无量纲曳力系数，由 Dinh 和 Armstrong [79] 给出：

其中 是某根给定纤维到其最近邻纤维的平均横向间距：

其中 是单位体积内的颗粒数。在实际应用中， 可以作为拟合参数处理。

Phelps [295] 将长度为 的纤维在时间增量 内发生断裂的概率表示为 ，其中 由下式给出：

其中 是用于缩放断裂速率的拟合参数。

虽然纤维长度可能因纤维磨损而减小，但在给定纤维长度分布下纤维的总长度不变。设 表示纤维长度分布的离散化总数，并令 ，其中 是纤维长度分布中的最大纤维长度。如果 （ 到 ）是长度为 （）的纤维数量，则它满足下列守恒方程：

其中 是概率密度函数，定义为：在时间 内，长度为 的纤维断裂形成长度为 （其中 ）的纤维的概率为 。该函数假定为正态概率密度函数，由下式给出：

其中 是标准差，变量 是无量纲拟合参数，用于控制高斯断裂分布的形状。较小的 值对应于纤维中点处断裂概率较高的情况，而较大的 值对应于可能的断裂点沿纤维长度更均匀分布的情况。

方程 9.4、9.8 和 9.9 构成了纤维长度磨损模型（Phelps [295]），用于求解注塑过程中的纤维长度分布。一些实现细节可参见 Nguyen 等人 [271]。

9.4 单轴拉伸强度模型

本节介绍一种单轴拉伸强度模型，它提供了对复合材料强度的一般性理解。

考虑聚合物基体中一根沿载荷方向取向的单纤维。施加的载荷通过纤维/基体界面处恒定的剪切应力传递给纤维。假定纤维仅受拉伸，由作用在界面上的剪切力拉伸。若以 表示界面处的剪切应力， 和 分别为纤维长度和直径，则距纤维端部 处（其中 指纤维的一端，延伸到纤维中点的 ）纤维中的拉伸应力由下式给出：

要使不连续纤维达到连续纤维的增强效率，应力必须在纤维长度上充分发展；存在一个临界纤维长径比，在该长径比下，纤维中点处的峰值应力恰好达到纤维的极限强度 （Kelly 和 Tyson [194]；Guell 和 Benard [135]）。临界长径比由下式给出：

其中 是界面的剪切强度，等同于基体的屈服剪切应力。我们称 为临界纤维长径比， 为临界纤维长度。

如果假设基体处于屈服起始状态，则距纤维端部 处纤维内的拉伸应力可写为

如果纤维长于 ，界面剪切应力会在纤维内积累起足以使纤维断裂的拉伸应力。如果纤维短于 ，纤维中的拉伸应力永远达不到其极限值，复合材料破坏时纤维将从基体中拔出。

在介质统计均匀的条件下，复合材料的拉伸强度由下式给出：

其中 和 分别为复合材料破坏时纤维和基体中的平均应力。我们可以令基体应力等于基体强度，即 ，然后 由下式给出：

上述简单模型可用于确定给定纤维增强复合材料的承载能力。

9.5 柔性纤维建模

9.5.1 直接模拟方法

长纤维并非完全刚性，因此在加工过程中可能发生变形（弯曲和/或扭转）。许多作者使用直接模拟在颗粒层面上对柔性纤维运动进行建模，其中单根柔性纤维模型由多个相互连接的刚性部分组成。通过允许各刚性部分之间的相对运动来反映弯曲和扭转变形。

已有多种物理模型（Yamamota 和 Matsuoka [405–407]；Ross 和 Klingenberg [316]；Joung 等人 [183, 184]；Tang 和 Advani [355]；Schmid 等人 [323]；Wang 等人 [391]；Kittipoomwong 和 Jabbarzadeh [204]）被用来表示柔性纤维（图 9.2），在此基础上可以基于力平衡构建数学模型。我们以 Joung 等人 [183, 184] 建立的模型为例，其中柔性纤维悬浮液用黏性流动中的一串球形珠子来建模。珠子之间通过不可伸长的连接件相连。只有珠子与流体相互作用。连接件不与流体相互作用，而是用于传递内力并维持纤维的构型。每个珠子内部有一个连接两个连接件的接头。每个接头允许有限的弯曲和扭转，并在纤维偏离平衡位置时产生使其恢复伸直的回复力矩。给定杨氏模量和剪切模量，就可以计算每个接头的内部弯曲力矩、扭转力矩以及弯曲和扭转角度。接头偏转由纤维相互作用力引起。

作用在每个球珠上的力有两类：外力和内力。外力来自黏性曳力（包括来自其他珠子的长程速度扰动），以及珠子彼此靠近时珠子之间的短程润滑力。内力是连接件张力。由于连接件是刚性且不可伸长的，“张力”只是恰好抵消沿连接件方向外力的反作用力。一旦确定了外力，还可以计算作用在每个接头上的力矩。接头处的内力矩等于接头两侧珠子所受作用力产生的力矩平衡。外部曳力可按下式计算：

该方程描述了作用于位于位置 的珠子 上的曳力。在方程 9.16 中， 是 Stokes 曳力系数，由 给出，其中 是溶剂黏度， 是球形珠子的半径。根据方程 9.16 的表达式，曳力正比于珠子速度 与珠子 处溶剂速度 之差。速度 在假定均匀速度梯度张量 的条件下确定：。速度 是悬浮液中所有其他球珠 在珠子 处产生的累积扰动速度，由下式描述：

其中 是作用在所有其他悬浮球珠 上的曳力， 称为 Oseen 张量，由下式给出：

其中 是从珠子 指向珠子 的位置矢量。

短程润滑力用下式计算：

由于所有相互作用都只发生在珠子之间，而且无论珠子属于同一根纤维还是不同纤维，珠子之间的相互作用都服从相同的规律，因此在确定外力时无需区分不同纤维的珠子。

对于刚性纤维，纤维的取向用沿纤维主轴的单个单位方向向量来描述。类似地，柔性纤维的取向可以用珠链模型的归一化端到端向量 来表征。在模拟中，一旦已知纤维的转动和平移速率，就可以计算当前时间步的新位置和取向。向量 与珠链的构型相叠加。相互作用力用方程 9.16 和 9.19 计算。然后进行附加计算，以确定珠链沿纤维长度的偏转。纤维变形可能导致端到端取向向量 进一步发生微小变化。取向结果可用于预测悬浮液的流变性能。Joung 等人 [184] 表明，随着纤维曲率增大，整体黏度会明显增大。

图 9.2：柔性纤维模型的示意图

9.5.2 连续介质建模

直接模拟对于探索颗粒-颗粒相互作用（如长程和短程流体动力效应）是有用的。然而，对于整个成型过程的建模而言，它们目前效率不高。一种考虑半柔性纤维取向演化的连续介质模型是 Strautins 和 Latz [346] 提出的模型，该模型源自所谓的珠-杆模型。在该模型中，半柔性纤维被建模为两根相连的杆，取向分别为 和 ，每根长度为 ，可以绕中心枢轴点弯曲，如图 9.3 所示。

图 9.3：Strautins 和 Latz [346] 的珠-杆模型

和 向量相对于取向分布函数 的矩定义为

其中 是 阶张量。只有以下 4 种情形是重要的：

然后可以得到长纤维取向张量的方程如下（详见 Ortman 等人 [274]）：

其中

式中 是速度矢量。在这些方程中， 是 Folgar-Tucker 模型中定义的相互作用系数， 是抗弯势能系数。当 的值减小时，纤维变得更柔软。相反，随着 的值增大，模型的行为更接近刚性纤维；当 时，模型的解收敛于高长径比刚性纤维的 Folgar-Tucker 模型。

Ortman 等人 [274] 为珠-杆模型提出了如下应力律：

其中 是各向同性压力， 是基体黏度， 是变形速率张量， 和 是通过拟合长纤维悬浮液流变数据确定的经验参数， 是纤维体积分数， 是二阶有量纲端到端取向张量，定义为端到端向量 相对于 的二阶矩：

而 定义为归一化的无量纲端到端取向张量：

方程 9.29 中的最后一项是弯曲应力项。对于完全笔直的纤维，，此时 ，因此弯曲应力项消失，方程退化为刚性纤维悬浮液的本构模型（Lipscomb 等人 [227]）。