第 14 章：注塑成型仿真的其他问题

14.1 熔接线

在注射成型中，熔接线的形成是不希望出现的，因为它会导致注射成型产品的外观和机械强度变差。熔接线是由于两个熔流前沿的碰撞而形成的。这通常发生在模具有多重浇口或模具中有嵌件的情况下。当两个熔流前沿相遇时，最初熔流前沿的分子链平行于由喷射流引起的界面，因此没有分子链跨越界面。随后发生扩散，导致分子链跨越界面移动，逐渐随机化分子取向并用长链分子桥接界面。对于均匀聚合物，熔接线处的结合强度取决于聚合物链是否能在足够的时间内扩散跨越界面形成牢固的结合。如果熔体在足够数量的分子链跨越界面之前固化，不良的分子间扩散会导致一定程度的结合不完全。熔接线的弱点还源于熔接线周围表面的V形凹槽，这些凹槽是由被挤压到壁面的空气引起的。熔接线无法消除，因此在流动分析中预测熔接线的位置和强度是有益的。模具，特别是浇口位置，可以重新设计，以将熔接线定位在最不敏感的区域，同时考虑美学和结构需求。

焊线位置可以通过填充分析首先找到两条流前缘的初始交汇点，然后从初始交汇点扩展以获得整个焊线位置（周和李[426]）。焊线位置预测对网格密度非常敏感。已经尝试量化均质聚合物的焊线强度。设 为界面的初始截面积， 为时间 时无分子链跨越界面的未定界区域。因此，差值 代表时间 时的结合面积。根据金和苏[202]，结合程度由下式给出：

在熔体温度降至 以下的瞬间。式中， 和 分别为有焊线和无焊线时的拉伸强度。为了获得 的值，金和苏进一步提出，非定界区域的时间变化率 可以通过扩散的第一定律 Fick’s 第一定律来计算。这种扩散模型不适用于纤维增强聚合物，因为焊线界面处由流动引起的纤维取向不会松弛，并且通常保持平行于焊线，导致焊线强度严重降低。强度损失被发现与纤维的长宽比有关。实验还发现，纤维增强复合材料的焊线强度值接近基体强度（梅德达和费萨[244]）。

14.2 核位移

模具中的核心部分用于成型制件的内部形状。在第4章中，我们提到了长核心的问题。使用带有长悬臂核心的模具可以制造具有封闭端的细长空心零件。当填充和保压阶段核心表面的压力分布不均匀时，核心可能会发生偏移，导致制件变形。核心位置的空间偏差称为核位移。模拟核位移现象需要解决流固耦合问题。核心的结构分析与塑料流动分析耦合（Bakharev等[24]）。这是一个双向耦合。流体压力在核心固体表面产生净侧向力，导致核心偏移；反过来，核心的位移又会影响流体流动。在熔体与核心的界面处，需要同时应用无穿透条件（防止流体粒子穿透固体对象）和无滑移边界条件。如果用v表示流体速度场，用u表示核心位移场，那么无穿透和无滑移边界条件只需满足u̇ = v。为了模拟核心变形导致的型腔几何形状变化，在模拟过程中需要进行重新网格化。最简单的方法是根据计算出的节点位移，仅更新流体-核心界面处的节点位置。

为了获得更好的数值性能，可以采用任意拉格朗日-欧拉（ALE）方法（Hughes et al. [166]）。

14.3 非常规注塑模具

14.3.1 覆盖成型

覆盖成型是一种多组分连续成型工艺，其中一种聚合物材料被注塑（或部分注塑）到另一种已成型并固化了的不同聚合物材料的部分上。这一过程扩展了传统注塑成型工艺的能力，使其能够生产具有多种功能和颜色的多组分部件。这里我们仅考虑两组分的情况。两组分注塑成型过程可以分为三个阶段：（i）第一组分（基材）的填充和后填充，（ii）模具核心切换以创建用于第二组分（覆盖成型）的新型腔，（iii）第二组分的填充和后填充。相应地，数值分析过程分为两个步骤。首先，对第一组分进行填充和后填充分析。这一步骤实际上与传统的注塑成型流动分析相同。在第二步中，对第二组分进行填充和后填充分析。由于第二注塑部分的部分型腔壁由第一注塑固化的基材构成，因此第二步分析必须考虑第二注塑聚合物流体与固化基材之间的界面边界条件。基材的初始温度通常不均匀，可以通过第一步分析来确定。

为了简化起见，也需要做出一些假设。例如，Ray 和 Costa [306] 假设，在包覆成型阶段，第一个组件不会重新熔化（尽管 Caspers [51] 之前描述的方法允许重新熔化），会保持刚性，与第二个组件有完美的粘附，并且会保持良好的热接触与模具接触。在第二步分析中，需要评估第一个组件与模具之间的热交换，以及第一个组件与第二个聚合物熔体之间的热交换。在数值模拟中，第一个组件和第二注塑腔通常分别网格化，因此腔体和基底界面的节点可能不匹配。腔体和基底的温度需要迭代求解，同时映射界面两侧的温度和热流，直到界面两侧的温度差小于所需的收敛标准。Caspers [51] 发现，对于两注塑成型零件，由热和压力引起的残余应力高度各向异性，这通常会导致严重的翘曲。对于包覆成型零件的翘曲分析，一个特殊问题是如何在第一和第二组件界面两侧节点的自由度之间建立关系。Fan 等人开发的方法 [110] 使用典型的多点约束（MPC）方程用于建立这些关系，然后通过拉格朗日乘数法为基础的消元方法来处理MPC方程。

14.3.2 气辅注塑成型

气辅注塑成型（GAIM）是从传统的注塑成型工艺发展而来，用于生产具有空心核心的塑料部件。GAIM过程始于将部分聚合物熔体注入模具型腔。然后，在聚合物熔体的核心注入压缩气体，通常是氮气，以完成模具的填充和压实。气体通常沿着最小流动阻力的路径渗透。一旦聚合物熔体固化，在开模和推出部件之前，会释放压缩气体。与传统的注塑成型工艺相比，GAIM可以产生更低且更均匀分布的型腔压力（图14.1）。

图 14.1：填充过程中，(a) 传统注塑成型和 (b) 气体注射成型的压力变化（改编自 Turng [373]）

这为与传统注塑成型技术相比带来了几个优势，如减少夹紧力、降低残余应力、减少变形倾向。其他优势包括缩短循环时间、减少部件重量、改善表面光滑度、避免凹陷痕迹以及在设计中灵活结合厚薄部分。与传统的注塑成型相比，GAIM涉及与气体相关的额外工艺参数，如气体注入延迟时间、气体压力和气体保持时间。

对于传统的注塑成型过程，GAIM 过程的建模可以通过使用 2.5D Hele-Shaw 近似（Sherbelis [332]、Turng [373] 和 Chen 等 [59]）或 3D 模型（Haagh 等 [138, 139]）来完成。3D 模拟能够捕捉流动前沿的运动学和最终截面的形状，这是 2.5D 方法无法做到的。我们将在下面仅回顾 3D 方法。对于 3D 建模，Haagh 等 [139] 提出的伪浓度方法允许我们在覆盖整个型腔的固定有限元网格上求解流动问题，无需在模拟过程中重新网格化。注入的气体以及聚合物前沿下游的空气均被表示为一种虚构的流体，这种流体不参与模具中的压力降。虚构流体的粘度设置为聚合物粘度的 10^-3 倍。这个值高于真实气体的粘度，以保持雷诺数较小，同时仍然足够低，使得气体的压力降可以忽略不计，相对于等效熔融聚合物核心的压力降而言。因此，气体核心内的压力可以认为是恒定的。虚构流体的密度与气体相同。

质量守恒和能量守恒方程同样被应用。在模具入口、模具壁和排气口处施加边界条件。在模具入口处，给定注射流率或注射压力。在模具壁处，如果被聚合物覆盖，则施加无滑移条件；而在流前沿下游的气-壁界面处，则施加无粘附条件。在排气口边界处，垂直于壁面的牵引力设为零。材料性质是材料类型的函数。通过伪浓度参数 c 将流体粒子标记为聚合物或气体，其中 c = 1 表示聚合物，c = 0 表示气体。局部密度和粘度计算如下：

或者，它们可以定义为浓度的不连续函数：

伪浓度参数 c 的传输方程，该参数随速度 u 通过模具被对流，表示为：

伪浓度参数 c 的初始条件在整个域 Ω 内设置为零：

并且给出以下边界条件：

其中 是气体注入的时间。

因此，流动问题可以通过求解运动方程、质量与能量守恒方程以及聚合物的本构方程来模拟。最常用的本构方程是广义牛顿流体，结合方程14.7，并在每个时间步长更新材料属性。对于GAIM，残余应力也可以通过类似于传统注塑成型的方法来计算，如第五章所述，只需将气体的模量设为零。翘曲分析在单独的结构分析中进行，其中计算出的残余应力用作载荷条件。然而，在气体辅助注塑的情况下，由于气体注入后不再注入聚合物以封闭浇口，不能简单地对整个域进行结构分析。结构分析必须在未封闭的空心部分进行。Custódio等人[73]报道了一项关于GAIM中残余应力发展的数值研究，包括流动诱导应力和热诱导及压力诱导应力。他们发现，GAIM中的流动诱导取向和相关应力的幅度远低于传统情况，并且仅在填充阶段设定。他们的结果还显示，GAIM计算出的热诱导和压力诱导应力分布不表现出压缩区域，这是传统注塑成型零件的典型特征。

GAIM 过程也可以与其他过程如双组分注塑结合使用。参见 Neerincx 和 Meijer [270] 的例子。

14.3.3 微孔发泡注塑成型

微孔发泡注塑成型过程涉及将超临界流体（如二氧化碳 CO2 或氮气 N2）在高温高压下引入聚合物熔体中，形成单相溶液，然后注入模具中，在此过程中溶解的气体膨胀产生微孔泡沫。这种泡沫具有高度均匀的细胞直径，范围从 5 到 100 微米。该过程提供了多种优势，包括较低的注射压力、较短的循环时间、减轻重量以及提高尺寸稳定性。与传统的注塑成型不同，在微孔发泡注塑成型过程中，模具并未完全被材料填充。注入的材料量决定了减轻重量的程度以及最终的细胞尺寸。注射后，喷嘴被密封，材料发泡。填充模具腔体是由于细胞膨胀导致的。这一新颖的过程最初是为挤出工艺开发的，并已发展用于注塑成型（Martini-Vvedensky 等 [240]，Blizard 等 [38]）。参见 Okamoto [273] 了解该技术的历史发展。

在微孔注塑发泡成型的模拟中，主要关注点是将细胞生长模型纳入质量、动量和能量的守恒方程中，以预测压力和温度场，以及微孔注塑成型过程中的气泡生长行为。有关数值研究的例子可以参见郑等人的[422]、韩等人的[144]以及奥斯罗里和特恩格的[277, 278]。在模拟过程中，单位质量中的核数量可以从实验中观察到的微孔数量密度获得，或者通过积分核生成率方程（Colton 和苏赫[65] 提供）计算得出。最常用的细胞生长模型是由阿蒙和邓森[1] 及阿雷夫曼舍等[9] 开发的单元细胞模型。在这个模型中，泡沫被分为等质量且恒定的球形微单元细胞，每个单元细胞由液态外壳（或壳层）和同心球形气泡组成。气泡的膨胀受以下两种机制控制：

• 水动力控制生长
• 扩散控制生长

描述细胞生长的水动力方程为：

其中， 是球形气泡的半径， 是流体的粘度， 是气泡内部的压力， 是从流场分析中计算出的包围微单元细胞的流体压力， 是聚合物-气相界面的表面张力。

方程14.10的初始条件为在t=0时，R=R₀。方程表明，对于气泡的生长（dR/dt > 0），气泡的初始半径必须大于一个临界值R_cr = 2σ/(p_g - p)。气泡内的气体压力（p_g）与气泡界面处溶解气体的浓度（c_w）通过亨利定律相关，即c_w = κh p_g，其中κh是溶解度，它是压力和温度的函数。在[273]中可以找到二氧化碳和氮气在熔融聚合物中的典型溶解度值。通过扩散过程中气体溶解在熔体包封中的质量守恒关系，可以推导出p_g与R之间的关系。该过程由菲克扩散定律[380]所支配。假设气体的理想气体行为，并假设气体浓度沿壳层呈二次多项式分布，可以将气体压力与气泡半径的关系表示为：

其中，ρ是聚合物的密度，p_{g0}是初始压力，R_g是摩尔常数（8.31451 J·mol⁻¹·K⁻¹），D是气体在聚合物熔体中的扩散系数。气体的扩散系数可以表示为阿伦尼乌斯类型：D = D_0 exp(-E_D / R_g T)，其中D_0和E_D是特定气体和聚合物的常数（Van Krevelen [380]）。在200℃下，热塑性材料中二氧化碳和氮气的典型扩散系数约为O(10⁻⁹ m²/s)。

一阶耦合常微分方程组（14.10）和（14.11）描述了细胞生长的行为。为了考虑非理想气体行为，Hernandez等人[151]和Osorio和Turng[278]使用范德瓦尔斯方程来描述气体的状态。在模拟中，我们还需要考虑气体对流体 rheology 的影响。Lee等人[221]报道了PS/CO2溶液的粘度研究。他们的实验结果表明，溶液的粘度是剪切速率、温度、压力和CO2含量的敏感函数，具有以下特征：

• 粘度表现出剪切稀化行为。
• 粘度随温度升高而降低。
• 随着压力增加，粘度增加，尤其是在高压区域。
• 随着CO2含量增加，粘度降低。

Hsu等人[164]还表明，在高压、低温和低剪切速率条件下，压力效应更为显著。此外，Lee等人[220, 222]报道了PE/CO2和PE/PS共混物/CO2溶液的流变数据。PE/PS共混物/CO2溶液的粘度降低值介于二元PS/CO2和PE/CO2溶液之间。粘度的降低归因于CO2的存在导致自由体积的增加。Lee等人使用广义Cross-Carreau模型来描述PS/CO2溶液的剪切稀化行为，并结合Doolittle的自由体积理论[84]来考虑温度、压力和CO2浓度的影响。

在该模型中，系统被视为单相流体。郑等 [422] 和韩等 [144] 则使用了一种现象学模型，将系统视为生长气泡的两相悬浮液，该模型考虑了细胞生长过程中密度和粘度的变化。

14.3.4 微注塑成型

微注塑成型是一种相对较新的技术，能够生产出传统注塑成型技术难以实现的具有微小规模和精细细节的组件。微组件有不同的类型。第一种是质量在几毫克或更少的部件。第二种是微结构部件，其尺寸与典型的注塑成型产品相似，但包含具有微米级细节的区域。另一种类型是具有微结构表面的产品，如CD和DVD。最后，微精密组件虽然尺寸在宏观范围内，但公差在微米范围内。产品微型化的趋势仍在持续增长。尽管微注塑成型过程在本质上与传统注塑成型相似，但会受到极高的剪切率、高粘性耗散和更高的冷却速率的影响，这些因素可能会影响微注塑成型产品的最终性能。

还发现，计量尺寸和保压时间是显著影响制件质量的过程参数，且这两个参数的交互作用显著影响工艺过程（Zhao et al. [416]）。此外，为了防止短射和因压缩夹杂空气而导致的聚合物材料降解，微注射成型通常会使用排气工具。在注射聚合物流体之前，还会使用Variotherm温度控制加热模具，使其温度接近熔融温度，以确保聚合物流体具有较低的粘度，从而填充模具的最狭窄区域。Piotter等人[300]等其他研究人员使用现有的常规注射成型分析软件进行了微注射成型的填充模拟。数值结果在定性意义上与实验结果基本一致，但定量比较显示存在较大差异。这并不令人惊讶，因为现有的为宏观应用开发的软件并未充分考虑微观方面。导致偏离常规预测的可能原因包括模具表面粗糙度、表面张力效应和壁滑效应。这些效应在常规成型中通常影响较小，但在微成型中可能不容忽视。实际表面的粗糙度在表面上随机分布。

为了量化粗糙度，需要通过几个简单的可测量参数来进行分析。张等人 [413, 414] 考虑了一个具有两块平行板的型腔，并定义了以下参数：

• 粗糙层的有效厚度，定义为从粗糙峰到表面粗糙度的平均线的平均距离。
• 型腔的显效高度，定义为在不同测量位置，下壁和上壁粗糙峰之间距离的平均值。
• 型腔的有效高度，定义为型腔显效高度与上下粗糙层有效厚度之和。

Jabbarzadeh等人 [177, 178] 提出了一种不同的模型，其中粗糙度通过一个正弦壁来建模，该正弦壁由正弦函数的振幅和周期来表征。一些研究者，如库和克莱因斯特鲁尔 [210]，将粗糙层视为多孔介质，并基于现有的多孔介质层理论进行了分析。在微注塑成型中，模具表面粗糙度可能产生以下影响：

• 对型腔体积的影响：当模具表面粗糙度与型腔高度相当时，由粗糙峰和谷组成的区域（填充粗糙区域的熔体体积）将变得显著且不可忽略。因此，正如张等人所指出的那样，[413] 建议，在微注塑成型分析中应使用有效维数，该维数是模具表面粗糙度的函数。

• 熔体与模具之间的热传递影响：张等 [413, 414] 提出了一种基于简单混合规则的数学模型，用于模拟聚合物熔体和模具材料共占的粗糙层的热导率和比热容。粗糙层的热导率和比热容由有效粗糙度厚度和体积分数参数决定，该参数定义为聚合物熔体占据体积与模具材料占据体积的比例。

• 壁面滑移的影响：贾巴尔扎德等 [177, 178] 的数值研究表明，壁面粗糙度周期和分子大小的增加会导致壁面滑移程度的增加，而壁面粗糙度振幅的增加则会导致壁面滑移程度的减小。

表面张力和毛细效应可能是微流控系统中的驱动力，因此在微注塑成型的模拟中必须包括表面张力。对于数值模拟，可以使用杨-拉普拉斯方程（Kim等 [201]）来评估由表面张力引起的压降：

其中，σ 是流体的表面张力，R1 和 R2 是流动前沿形状的主曲率半径。

主半径可以通过流体与通道壁之间的动态接触角来确定（如图14.2所示）：

式中，W 和 h 分别表示通道的宽度和厚度。假设通道内的气压为零时，作用于流前沿的压力可以计算为：

图 14.2：动态接触角

根据接触角θ的取值范围，表面张力效应下的流动类型有两种：当90° < θ ≤ 180° 时为压力驱动流动；当0° ≤ θ < 90° 时为表面张力驱动流动。对于薄腔几何结构（W ≫ h），可以忽略宽度方向的表面张力效应，相对于厚度方向的表面张力效应，因此流前沿的压力可以计算为：

式中，h 为平行板的厚度，对于圆形管道为半径。在推导Hele-Shaw方程时，我们假设液固界面满足无滑移边界条件，即液体附着在固体表面，相对于固体表面没有相对速度。这一假设对于牛顿流体非常适用，但对于聚合物流体的注射流动，尤其是微注射成型，尚未得到充分验证。有迹象表明（Awati等[19]），在微通道中可能不适用无滑移边界条件。

挤出实验表明，当壁面剪切应力超过某一临界值（通常约为0.1 MPa）时，聚合物熔体在固体表面可能会出现滑移现象，详见Lim和Schowalter [225]、Ramamurthy [305]、Kalika和Denn [186]、Hatzikiriakos和Dealy [149, 150] 和Hatzikiriakos [148]的研究。一些经验性方法被提出用于处理滑移边界条件，其中滑移速度被取作壁面剪切应力的经验函数。Rosenbaum和Hatzikiriakos [315] 引入了滑移速度的幂律关系： 其中是滑移的临界壁面应力，是标量系数，是幂律指数。因子在壁面应力小于时几乎为零，并在超过时接近1。或者，也可以使用Robin边界条件来考虑壁面滑移，其表达式为 其中，是切向速度，是剪切应力，是“Robin惩罚参数”。详情参见Haagh和Vosse [137]。最后，在微注塑成型的模拟中，我们处理的是微尺度部件或具有微尺度特征的部件。对于前者，如流道和浇口等供料系统通常比微尺度部件大得多。对于后者，部件本身包含不同尺度的特征。在两种情况下，提高用于数值模拟的网格质量都是一项真正的挑战。

14.4 黏弹效应

在大多数注塑成型模拟中，聚合物被假定为不可压缩或广义牛顿流体。虽然不可压缩分析可以较好地预测流动速度、型腔压力场以及流动前沿的推进，但在尖角附近或“喷流流动”区域可能会产生错误的结果。此外，即使在狭窄、轻微弯曲的型腔中，不可压缩分析也无法描述影响产品性能的若干黏弹现象。本节将讨论一些黏弹现象。有关黏弹流体模型的详细内容，请参阅 Bird 等人 [35, 36]、Tanner [356] 和 Huilgol 和 Phan-Thien [167]。

14.4.1 流诱导残余应力和双折射

注塑成型产品的残余应力有两个来源。第一个来源是由于填充和后填充阶段冻结的分子取向引起的流动诱导应力。第二个来源是由于聚合物在填充和冷却步骤中不均匀固化过程中迅速增加的刚性引起的热应力和压力应力。在第一部分中，我们主要讨论了热应力和压力应力，这些应力通常远高于流动诱导应力，并且对脱模后的收缩和翘曲有重大影响。然而，至少对于未填充的无定形材料，流动诱导应力可能会显著影响产品的各向异性力学性能和光学（双折射）行为。

为了预测流动引起的应力，需要使用粘弹性建模。Isayev 和 Hieber [175] 首次尝试使用 Leonov 模型来描述聚合物，从而将粘弹性效应纳入注塑成型过程。他们考虑了非等温 Poiseuille 流动在条形腔体中的情况，并计算了填充过程中由变形引起的流动应力。Baaijens 和 Douven [22] 使用了可压缩的 Leonov 模型，这使得在填充后阶段也能预测由应力引起的应力。处理粘弹性计算主要有两种方法。第一种方法是耦合（或混合）方法，其中额外应力张量、速度和压力是主要未知量。这种方法由于自由度较多而导致计算成本非常高，因此在注塑成型模拟中并不实用。第二种方法可能在可接受的计算成本下产生解决方案，即迭代解耦方法，该方法包括求解粘性流动问题和使用给定的运动学迭代求解粘弹性本构方程，采用 Picard 类型迭代方案。大致来说，运动方程 −∇p + ∇ · τ = 0 (14.18) 可以重写为等价形式 −∇p + ∇ · (η∇u) = ∇ · (η∇u) − ∇ · τ。 (14.19) 在迭代过程中，可以写出 −∇p k+1 + ∇ · (η∇uk+1 ) = ∇ · (η∇uk ) − ∇ · τk

(14.20) | {z } 假想体力 在前一次迭代（第 k 步）中，速度矢量场和额外应力张量场作为假想体力用于计算新的速度场和压力场。迭代过程可以概括如下：首先，将方程 14.20 的右侧（假想体力）设置为零，并与连续性方程和能量方程一起求解。然后，使用速度解在本构方程中求得额外应力 τ，之后可以计算假想体力。接下来的迭代过程与第一次相同，只是这次从非零的假想体力开始。实际上，在每次迭代中，场方程的数值求解过程几乎与粘性流动问题相同；因此，现有的广义牛顿流体数值方法可以轻松适应。这个过程会重复进行，直到满足预设的收敛准则。通过这种方法，粘弹性材料的行为被纳入流动动力学的求解中。由于流动几乎为粘度型，弹性对流动动力学的影响可能较小。迭代解耦方法可以被一个更为简单的一步解耦方法所替代，在这种方法中，流动问题使用广义牛顿流体模型进行计算。

然后，所得的流动动力学被用作粘弹性模型的输入，以计算由流动引起的残余应力，无需进一步迭代。这种方法未考虑粘弹性效应对流动动力学的影响，但Baaijens和Douven [22] 已证明，对于注射成型的矩形条，使用两种方法获得的由流动引起的应力结果之间的差异小于百分之十。显然，一步解耦方法从计算成本角度来看更为高效，意味着计算时间更短。光学性质如双折射可以通过残余应力使用应力-光学定律（Jeneschitz-Kriegl [180]）来计算。应力-光学定律表明，双折射与主应力差线性相关，具体表达式为：

其中， 是感兴趣点的主残余应力； 是与主应力方向相关的材料折射率； 是笛卡尔坐标系下总应力张量的分量， 是应力-光学系数。

可塑性效应对玻璃转变区的时变应力-光学行为进行了描述，采用了一种修改后的应力-光学规则，其积分形式如下：

其中， 是一个时间和温度依赖的应力-光学系数， 是由 定义的伪时间， 是时间-温度移位因子， 是主应力之差。流动引起的应力和热压引起的应力均可导致双折射现象。与残余应力情况下流动引起的应力远小于热压引起的应力不同，在流动引起的双折射现象中，其相对于热压引起的双折射现象更为显著（Kwon 和 Lee [213]）。

如今，精确预测双折射现象的重要性日益凸显，因为注塑成型镜片的光学质量直接影响到诸如CD和DVD等产品的可读性。更多关于此主题的研究可参见Flaman [120]、Douven [89]、Pantani 等 [282] 和 Chang 等 [56]。

14.4.2 可塑性不稳定性

聚合物熔体流体的可塑性性质对流动稳定性产生了多种复杂的影响。它既可以稳定流动，也可以使其不稳定，这取决于特定的流动条件和流体的流变学特性。由可塑性引起的流动不稳定性在多种聚合物加工过程中都会出现，并可能导致最终产品的严重缺陷。

关于黏弹体不稳定性的综述已在Petrie和Denn [285]、Tanner [356] 和Larson [217] 中有所提及。我们将提及埃因霍温小组（Grillet等人[132]、Bogaerds等人[40] 和Baltussen等人[25]）关于注射成型过程中黏弹流不稳定性的研究。他们的研究探讨了导致特定表面缺陷的不稳定喷泉流现象，这种缺陷表现为垂直于流动方向的交替亮暗带，有时被称为虎纹。喷泉流是注射成型流动前沿遇到的一种现象。如果以沿液面前沿移动的速度为参考系观察流动，可以看到在中心区域，流体颗粒在接近前沿时减速并翻转向壁面，表现出滚动式的运动。已经有许多关于喷泉流的模拟研究（Coyle等人[71]、Kamal等人[188,189]、Mavridis等人[241,242] 和Mitsoulis[250,251]）。大多数模拟研究产生了稳态解。然而，我们在实践中观察到的喷泉流并不一定总是稳定的。Grillet等人[132] 图14.3 中报道的喷泉前沿的不稳定流动有助于解释Bulters和Schepens[47] 实验中观察到的虎纹。

图 14.3：不稳定喷泉流（转载自 Grillet 等 [132]）

通常采用的稳定性分析方法是线性化扰动分析。在这种方法中，对稳态流动施加小扰动。

如果所有这些扰动都倾向于减小，那么流体是稳定的。如果某些扰动倾向于放大，则流体被认为是不稳定的。通常，物理变量 可以表示为稳态分量 和扰动分量 之和：

在获得未知量的稳态值后，扰动变量的演化方程中仅保留扰动变量的一次项，并作为时间的函数求解。通常假设扰动具有分离形式：

其中 是扰动的初始振幅，而 是复特征值。如果特征值的实部为负，即 ，则扰动将衰减，表明流体是稳定的。如果 ，扰动将随时间增长，表明流体是不稳定的。因此， 表示不稳定性的开始。熔体的粘弹性度量是魏斯纳数，定义为：

其中 是流体的特征时间， 是特征速度，通常取为熔体的平均速度，而 是特征长度尺度，通常取为注塑模拟中型腔半隙宽。

在之前的章节中，我们提到了悬浮理论及其在注塑成型过程中纤维填充聚合物和结晶聚合物流动研究中的重要性。悬浮液是由固体颗粒悬浮在液体中形成的非均质混合物。颗粒的尺寸远小于装置的典型尺寸。大多数应用于注塑成型的悬浮理论主要考虑牛顿流体中的悬浮颗粒，或者颗粒悬浮在牛顿流体中的情况，尽管实际上颗粒通常悬浮在粘弹性基质中。Hwang等人[171]模拟了Oldroyd-B流体的简单剪切流动中的颗粒悬浮液。他们预测了第一正应力与剪切应力的标度关系，这是常见的实验观察结果。此外，他们表明剪切粘度和第一正应力系数随着广义剪切率以及颗粒体积分数的增加而增加。然而，该模型在某些方面无法准确描述粘弹性悬浮液的行为。例如，Mall-Gleissle等人对粘弹性悬浮液的实验研究显示了这一点 [237]。研究表明，第一主应力差的绝对值为正，但随着颗粒体积分数的增加而减小；而第二主应力差的绝对值为负，并随着颗粒体积分数的增加而增大。这些结果并未被Hwang等人提出的模型所预测，因为Oldroyd-B流体在平面剪切流动中并不预测存在第二主应力差。Tanner和Qi [360]采用不同的方法，发展了一种经验非线性粘弹性悬浮液模型。该模型中的应力张量由两种模式组成。一种模式由具有体积分数依赖的松弛时间的PTT模型描述： 其中， 是体积分数 的函数的时间常数， 是上卷积时间导数， 是额外应力项，后缀“v”表示“粘弹性”行为， 是聚合物粘度， 是 的函数， 是变形率张量。另一种模式由具有体积分数依赖的粘度的Reiner-Rivlin模型描述： 其中， 是额外应力项，后缀“N”表示“牛顿”行为， 是牛顿溶剂粘度， 是相对粘度，可以描述为，其中 是允许的最大体积分数， 是体积分数依赖的参数， 是广义剪切速率。

悬架的额外应力被提议为两种应力项的简单叠加：τ = τN + τv 。(14.30) 该模型的完全响应显示了以下特征：(i) 正的第一正应力差，(ii) 负的第二正应力差，(iii) 尺寸无量纲的第一正应力差强烈依赖于剪切速率并随体积分数减小，(iv) 尺寸无量纲的第二正应力差（幅度）几乎不依赖于剪切速率并随体积分数增加。计算结果与实验数据 [237] 高度一致。

Housiadas 和 Tanner [159] 使用摄动分析来获得弱黏弹性流体中刚性球稀悬浮液的压力和速度的解析解。他们还表明，可以通过使用罗斯科程序 [313] 将稀悬浮液的结果扩展到浓集区域，具体步骤如下：1. 找到稀悬浮液的响应。2. 假设向现有悬浮液中添加少量额外颗粒，这将增强悬浮液的黏度。用拥挤函数替换 dφ，例如 dφ/(1 - φ/φm)。3. 通过积分，然后找到有限浓度的性质。

Phan-Thien 和 Fan [288] 以及 Fan 等人 [102] 考虑了黏弹性流体中的细长颗粒。他们的工作与纤维取向问题相关。

首先，他们使用边界元方法模拟了单个细长颗粒在弱粘弹性剪切流中的运动，并展示了由于粘弹性效应，颗粒如何旋转并离开杰弗里的轨道。基于数值信息，他们将一个修正的有效速度梯度引入杰弗里的方程中，以考虑流动中的弱弹性效应。修正后的模型通过布朗运动模拟方法求解，并与边界元结果进行测试。此外，为了包括颗粒之间的相互作用，他们在方程中添加了一个随机力。由此得到的方向张量演化方程为：

其中，修正后的有效速度梯度 给出为：

其中 是速度梯度， 和 是依赖于粘弹性贡献的参数。当 和 时，模型退化为标准的福尔加-塔克方程。其他相关研究可参见参考文献 [4, 20, 101, 160, 361]。

此外，除了传统的基于网格的数值方法，如有限差分法、有限元法和有限体积法，其他方法也在注塑成型问题的研究中被使用，包括分子动力学 (MD) 模拟和无网格方法。

它们应被视为传统方法在某些特殊用途中的补充，而非替代。

14.5 其他数值方法

14.5.1 分子动力学模拟

我们知道，用于注塑成型的材料的可加工性和最终性能取决于加工过程中形成的纳米/微结构。分子水平的模拟可以帮助理解现象的分子起源以及加工与微观结构和宏观性能之间的关系。分子动力学（MD）模拟是将牛顿运动方程应用于一组分子的分子尺度模拟方法之一（Allen和Tildesley [7]）。在分子动力学模拟中，热能仅仅是原子的平均动能。在分子动力学模拟中，方程是确定性的，分子的布朗运动是由直接模拟大量分子间碰撞产生的，与实际流体的情况非常相似。正是这一特性将分子动力学与其他分子模拟方法，如布朗动力学和蒙特卡洛方法区分开来。Jabbarzadeh和Tanner [179] 使用分子动力学研究了剪切率和应变对聚合物流诱导结晶的影响。在Jabbarzadeh和Tanner [179] 的工作中，线性聚乙烯C162 H326使用了统一原子模型进行建模。CH2和CH3基团被处理为单一的相互作用位点。

模型中采用了分子内结构，包括键拉伸、角弯曲和二面角（扭转）势能。然后，从以下方程组计算了分子的位置、特殊动量和轨迹：

其中，、 和 分别表示原子 的位置、特殊动量和质量； 是流动方向的单位向量； 是剪切率； 是系统中其他所有原子对原子 的总力； 是模拟盒的体积，其动力学由膨胀率 管理。在所有三个方向上应用了周期边界条件进行静止模拟。对于平面剪切模拟，应用了 Lees-Edwards 滑动砖周期边界条件 [223]。最后，从微观信息计算了所需的宏观性质，如温度、压力、密度、热膨胀系数、结晶度和应力。该模拟能够监控在受控温度、压力、冷却速率和流动条件下从无定形结构到半结晶结构的形态转变，并有助于揭示剪切或预剪切对结晶速度增强的影响。MD 模拟方法的研究和开发仍在进行中。

目前，分子动力学（MD）模拟在计算上仅限于非常短的时间尺度（约十纳秒）和非常高的剪切率（≥10^7 s⁻¹）。随着模型中原子数量的增加，计算时间的成本会急剧上升。计算能力的增长和并行算法的发展将帮助研究人员对大系统进行结晶模拟。

14.5.2 无网格方法

一些努力已经尝试探索无网格方法在解决注塑成型问题中的适用性，以消除网格生成的要求。本节将回顾平滑粒子 hydrodynamics（SPH）方法，这是一种无网格和完全拉格朗日方法。SPH 方法最初由 Gingold 和 Monaghan [130] 以及 Lucy [232] 在天体物理中非轴对称现象的模拟中提出。Liu 和 Liu [228] 的著作详细描述了 SPH 理论，包括数值程序和一些应用实例。早期的 SPH 方法适用于气体动力学中的不可压缩流体。它已被进一步发展以应用于更广泛的问题，包括牛顿流体、广义牛顿流体（Shao 和 Lo [331]、Rafiee [302]）、粘弹性（Ellero 和 Tanner [95]、Fang 等 [115]、Rafiee 等 [303]、Vázquez-Quesada 和 Ellero [381]）以及宾汉型流体流动（Zhu 等 [427]）。Cleary 等 [63] 和 Prakash 等 [301] 使用 SPH 模拟铸造和炉子排空中的金属流动，取得了一定的成功。

首次尝试使用SPH方法模拟聚合物注塑成型的是Fan等人[106, 107]。在SPH中，流体被离散为有限数量的移动点，或“粒子”，在这些粒子的位置x处的任何物理量f(x)通过位置x附近邻近粒子的功能值进行内插。这种内插值通过核估计近似表示：

其中f(x)仅在N个离散粒子xb (b = 1, 2, …N)处已知，粒子b的质量为mb，密度为ρb，W是核函数，h是平滑长度，代表核的有效宽度。Liu和Liu的书中[228]可以找到几种常用的核函数。SPH离散化的控制方程如下。

质量守恒方程为：

动量方程为：

其中u是速度矢量，p是压力，τ是额外应力张量，b是场力。下标“a”和“b”分别表示粒子a和b。额外应力张量取决于所使用的本构方程。对于广义牛顿流体的具体形式，参见Fan等人[106, 107]。

能量守恒方程（Cleary 和 Monaghan [64] 提出）为：

其中， 是与颗粒 相对应的内能； 和 分别是与颗粒 和 相对应的热导率； 和 分别是与颗粒 和 相对应的温度； 是颗粒 和 之间的距离； 是一个小参数，用于避免当 时出现奇异性。该方程忽略了粘性耗散和热源项。为了模拟如模具填充等受限流体流动，通常通过“固体颗粒”来建模固体边界。这些颗粒固定或以移动边界的速度移动，并与流体颗粒相互作用。提出了几种处理固体边界条件的方法。最常见的方法是 Monaghan [253-255] 提出的斥力边界条件方法，以及 Morris 等人 [259] 和 Ferrari 等人 [117] 描述的幽灵颗粒方法。Fan 等人 [106, 107] 将 SPH 方法应用于模具填充模拟。他们获得了稳定的解，适用于最高零剪切粘度为 Pa·s、最低幂律指数为 0.294 的幂律流体流动，并且在范围为 到 Pa 的最高压力下，在低雷诺数 下。

此外，SPH 方法相较于网格方法的另一个优势在于，它可以自动捕捉移动的自由表面，这使得在模拟过程中更新复杂的自由表面变得更加容易。然而，SPH 方法在处理高粘度流体流动时也显示出一些缺点，使其应用受到限制。对于标准显式 SPH 方法，高粘度流体流动极易引发不稳定性，为了获得稳定解，时间步长必须根据扩散稳定性约束条件减小到非常小的值。因此，在当前的早期发展阶段，SPH 方法尚不具备与传统的基于网格的方法在注塑成型模拟中的竞争力。